- posinf_def
-
⊢ (∀f1 f2. posinf (Conjn f1 f2) = Conjn (posinf f1) (posinf f2)) ∧
(∀f1 f2. posinf (Disjn f1 f2) = Disjn (posinf f1) (posinf f2)) ∧
(∀f. posinf (Negn f) = Negn (posinf f)) ∧
(∀b. posinf (UnrelatedBool b) = UnrelatedBool b) ∧
(∀i. posinf (xLT i) = UnrelatedBool F) ∧
(∀i. posinf (LTx i) = UnrelatedBool T) ∧
(∀i. posinf (xEQ i) = UnrelatedBool F) ∧
∀i1 i2. posinf (xDivided i1 i2) = xDivided i1 i2
- neginf_def
-
⊢ (∀f1 f2. neginf (Conjn f1 f2) = Conjn (neginf f1) (neginf f2)) ∧
(∀f1 f2. neginf (Disjn f1 f2) = Disjn (neginf f1) (neginf f2)) ∧
(∀f. neginf (Negn f) = Negn (neginf f)) ∧
(∀b. neginf (UnrelatedBool b) = UnrelatedBool b) ∧
(∀i. neginf (xLT i) = UnrelatedBool T) ∧
(∀i. neginf (LTx i) = UnrelatedBool F) ∧
(∀i. neginf (xEQ i) = UnrelatedBool F) ∧
∀i1 i2. neginf (xDivided i1 i2) = xDivided i1 i2
- eval_form_def
-
⊢ (∀f1 f2 x. eval_form (Conjn f1 f2) x ⇔ eval_form f1 x ∧ eval_form f2 x) ∧
(∀f1 f2 x. eval_form (Disjn f1 f2) x ⇔ eval_form f1 x ∨ eval_form f2 x) ∧
(∀f x. eval_form (Negn f) x ⇔ ¬eval_form f x) ∧
(∀b x. eval_form (UnrelatedBool b) x ⇔ b) ∧
(∀i x. eval_form (xLT i) x ⇔ x < i) ∧ (∀i x. eval_form (LTx i) x ⇔ i < x) ∧
(∀i x. eval_form (xEQ i) x ⇔ (x = i)) ∧
∀i1 i2 x. eval_form (xDivided i1 i2) x ⇔ i1 int_divides x + i2
- deep_form_TY_DEF
-
⊢ ∃rep.
TYPE_DEFINITION
(λa0'.
∀ $var$('deep_form').
(∀a0'.
(∃a0 a1.
(a0' =
(λa0 a1.
ind_type$CONSTR 0 (ARB,ARB,ARB)
(ind_type$FCONS a0
(ind_type$FCONS a1 (λn. ind_type$BOTTOM))))
a0 a1) ∧ $var$('deep_form') a0 ∧
$var$('deep_form') a1) ∨
(∃a0 a1.
(a0' =
(λa0 a1.
ind_type$CONSTR (SUC 0) (ARB,ARB,ARB)
(ind_type$FCONS a0
(ind_type$FCONS a1 (λn. ind_type$BOTTOM))))
a0 a1) ∧ $var$('deep_form') a0 ∧
$var$('deep_form') a1) ∨
(∃a.
(a0' =
(λa.
ind_type$CONSTR (SUC (SUC 0)) (ARB,ARB,ARB)
(ind_type$FCONS a (λn. ind_type$BOTTOM))) a) ∧
$var$('deep_form') a) ∨
(∃a.
a0' =
(λa.
ind_type$CONSTR (SUC (SUC (SUC 0)))
(a,ARB,ARB) (λn. ind_type$BOTTOM)) a) ∨
(∃a.
a0' =
(λa.
ind_type$CONSTR (SUC (SUC (SUC (SUC 0))))
(ARB,a,ARB) (λn. ind_type$BOTTOM)) a) ∨
(∃a.
a0' =
(λa.
ind_type$CONSTR
(SUC (SUC (SUC (SUC (SUC 0))))) (ARB,a,ARB)
(λn. ind_type$BOTTOM)) a) ∨
(∃a.
a0' =
(λa.
ind_type$CONSTR
(SUC (SUC (SUC (SUC (SUC (SUC 0))))))
(ARB,a,ARB) (λn. ind_type$BOTTOM)) a) ∨
(∃a0 a1.
a0' =
(λa0 a1.
ind_type$CONSTR
(SUC (SUC (SUC (SUC (SUC (SUC (SUC 0)))))))
(ARB,a0,a1) (λn. ind_type$BOTTOM)) a0 a1) ⇒
$var$('deep_form') a0') ⇒
$var$('deep_form') a0') rep
- deep_form_size_def
-
⊢ (∀a0 a1.
deep_form_size (Conjn a0 a1) =
1 + (deep_form_size a0 + deep_form_size a1)) ∧
(∀a0 a1.
deep_form_size (Disjn a0 a1) =
1 + (deep_form_size a0 + deep_form_size a1)) ∧
(∀a. deep_form_size (Negn a) = 1 + deep_form_size a) ∧
(∀a. deep_form_size (UnrelatedBool a) = 1 + bool_size a) ∧
(∀a. deep_form_size (xLT a) = 1) ∧ (∀a. deep_form_size (LTx a) = 1) ∧
(∀a. deep_form_size (xEQ a) = 1) ∧
∀a0 a1. deep_form_size (xDivided a0 a1) = 1
- deep_form_case_def
-
⊢ (∀a0 a1 f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
deep_form_CASE (Conjn a0 a1) f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = f a0 a1) ∧
(∀a0 a1 f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
deep_form_CASE (Disjn a0 a1) f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = f1 a0 a1) ∧
(∀a f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
deep_form_CASE (Negn a) f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = f2 a) ∧
(∀a f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
deep_form_CASE (UnrelatedBool a) f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = f3 a) ∧
(∀a f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
deep_form_CASE (xLT a) f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = f4 a) ∧
(∀a f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
deep_form_CASE (LTx a) f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = f5 a) ∧
(∀a f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
deep_form_CASE (xEQ a) f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = f6 a) ∧
∀a0 a1 f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
deep_form_CASE (xDivided a0 a1) f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = f7 a0 a1
- Bset_def
-
⊢ (∀pos f1 f2. Bset pos (Conjn f1 f2) = Bset pos f1 ∪ Bset pos f2) ∧
(∀pos f1 f2. Bset pos (Disjn f1 f2) = Bset pos f1 ∪ Bset pos f2) ∧
(∀pos f. Bset pos (Negn f) = Bset (¬pos) f) ∧
(∀pos b. Bset pos (UnrelatedBool b) = ∅) ∧
(∀pos i. Bset pos (xLT i) = if pos then ∅ else {i + -1}) ∧
(∀pos i. Bset pos (LTx i) = if pos then {i} else ∅) ∧
(∀pos i. Bset pos (xEQ i) = if pos then {i + -1} else {i}) ∧
∀pos i1 i2. Bset pos (xDivided i1 i2) = ∅
- Aset_def
-
⊢ (∀pos f1 f2. Aset pos (Conjn f1 f2) = Aset pos f1 ∪ Aset pos f2) ∧
(∀pos f1 f2. Aset pos (Disjn f1 f2) = Aset pos f1 ∪ Aset pos f2) ∧
(∀pos f. Aset pos (Negn f) = Aset (¬pos) f) ∧
(∀pos b. Aset pos (UnrelatedBool b) = ∅) ∧
(∀pos i. Aset pos (xLT i) = if pos then {i} else ∅) ∧
(∀pos i. Aset pos (LTx i) = if pos then ∅ else {i + 1}) ∧
(∀pos i. Aset pos (xEQ i) = if pos then {i + 1} else {i}) ∧
∀pos i1 i2. Aset pos (xDivided i1 i2) = ∅
- alldivide_def
-
⊢ (∀f1 f2 d. alldivide (Conjn f1 f2) d ⇔ alldivide f1 d ∧ alldivide f2 d) ∧
(∀f1 f2 d. alldivide (Disjn f1 f2) d ⇔ alldivide f1 d ∧ alldivide f2 d) ∧
(∀f d. alldivide (Negn f) d ⇔ alldivide f d) ∧
(∀b d. alldivide (UnrelatedBool b) d ⇔ T) ∧
(∀i d. alldivide (xLT i) d ⇔ T) ∧ (∀i d. alldivide (LTx i) d ⇔ T) ∧
(∀i d. alldivide (xEQ i) d ⇔ T) ∧
∀i1 i2 d. alldivide (xDivided i1 i2) d ⇔ i1 int_divides d
- posinf_ok
-
⊢ ∀f. ∃y. ∀x. y < x ⇒ (eval_form f x ⇔ eval_form (posinf f) x)
- posinf_exoriginal_implies_rhs
-
⊢ ∀f d x.
alldivide f d ∧ 0 < d ⇒
eval_form f x ⇒
(∃i. 0 < i ∧ i ≤ d ∧ eval_form (posinf f) i) ∨
∃j b. 0 < j ∧ j ≤ d ∧ b ∈ Aset T f ∧ eval_form f (b + -j)
- posinf_exoriginal_eq_rhs
-
⊢ ∀f d.
alldivide f d ∧ 0 < d ⇒
((∃x. eval_form f x) ⇔
(∃i. K (0 < i ∧ i ≤ d) i ∧ eval_form (posinf f) i) ∨
∃b j. (b ∈ Aset T f ∧ K (0 < j ∧ j ≤ d) j) ∧ eval_form f (b + -1 * j))
- posinf_disj1_implies_exoriginal
-
⊢ ∀f d i.
alldivide f d ⇒
0 < i ∧ i ≤ d ∧ eval_form (posinf f) i ⇒
∃x. eval_form f x
- neginf_ok
-
⊢ ∀f. ∃y. ∀x. x < y ⇒ (eval_form f x ⇔ eval_form (neginf f) x)
- neginf_exoriginal_implies_rhs
-
⊢ ∀f d x.
alldivide f d ∧ 0 < d ⇒
eval_form f x ⇒
(∃i. 0 < i ∧ i ≤ d ∧ eval_form (neginf f) i) ∨
∃j b. 0 < j ∧ j ≤ d ∧ b ∈ Bset T f ∧ eval_form f (b + j)
- neginf_exoriginal_eq_rhs
-
⊢ ∀f d.
alldivide f d ∧ 0 < d ⇒
((∃x. eval_form f x) ⇔
(∃i. K (0 < i ∧ i ≤ d) i ∧ eval_form (neginf f) i) ∨
∃b j. (b ∈ Bset T f ∧ K (0 < j ∧ j ≤ d) j) ∧ eval_form f (b + j))
- neginf_disj1_implies_exoriginal
-
⊢ ∀f d i.
alldivide f d ⇒
0 < i ∧ i ≤ d ∧ eval_form (neginf f) i ⇒
∃x. eval_form f x
- in_bset
-
⊢ ((∃b. b ∈ Bset pos (Conjn f1 f2) ∧ P b) ⇔
(∃b. b ∈ Bset pos f1 ∧ P b) ∨ ∃b. b ∈ Bset pos f2 ∧ P b) ∧
((∃b. b ∈ Bset pos (Disjn f1 f2) ∧ P b) ⇔
(∃b. b ∈ Bset pos f1 ∧ P b) ∨ ∃b. b ∈ Bset pos f2 ∧ P b) ∧
((∃b. b ∈ Bset T (Negn f) ∧ P b) ⇔ ∃b. b ∈ Bset F f ∧ P b) ∧
((∃b. b ∈ Bset F (Negn f) ∧ P b) ⇔ ∃b. b ∈ Bset T f ∧ P b) ∧
((∃b. b ∈ Bset pos (UnrelatedBool b0) ∧ P b) ⇔ F) ∧
((∃b. b ∈ Bset T (xLT i) ∧ P b) ⇔ F) ∧
((∃b. b ∈ Bset F (xLT i) ∧ P b) ⇔ P (i + -1)) ∧
((∃b. b ∈ Bset T (LTx i) ∧ P b) ⇔ P i) ∧
((∃b. b ∈ Bset F (LTx i) ∧ P b) ⇔ F) ∧
((∃b. b ∈ Bset T (xEQ i) ∧ P b) ⇔ P (i + -1)) ∧
((∃b. b ∈ Bset F (xEQ i) ∧ P b) ⇔ P i) ∧
((∃b. b ∈ Bset pos (xDivided i1 i2) ∧ P b) ⇔ F)
- in_aset
-
⊢ ((∃a. a ∈ Aset pos (Conjn f1 f2) ∧ P a) ⇔
(∃a. a ∈ Aset pos f1 ∧ P a) ∨ ∃a. a ∈ Aset pos f2 ∧ P a) ∧
((∃a. a ∈ Aset pos (Disjn f1 f2) ∧ P a) ⇔
(∃a. a ∈ Aset pos f1 ∧ P a) ∨ ∃a. a ∈ Aset pos f2 ∧ P a) ∧
((∃a. a ∈ Aset T (Negn f) ∧ P a) ⇔ ∃a. a ∈ Aset F f ∧ P a) ∧
((∃a. a ∈ Aset F (Negn f) ∧ P a) ⇔ ∃a. a ∈ Aset T f ∧ P a) ∧
((∃a. a ∈ Aset pos (UnrelatedBool a0) ∧ P a) ⇔ F) ∧
((∃a. a ∈ Aset T (xLT i) ∧ P a) ⇔ P i) ∧
((∃a. a ∈ Aset F (xLT i) ∧ P a) ⇔ F) ∧
((∃a. a ∈ Aset T (LTx i) ∧ P a) ⇔ F) ∧
((∃a. a ∈ Aset F (LTx i) ∧ P a) ⇔ P (i + 1)) ∧
((∃a. a ∈ Aset T (xEQ i) ∧ P a) ⇔ P (i + 1)) ∧
((∃a. a ∈ Aset F (xEQ i) ∧ P a) ⇔ P i) ∧
((∃a. a ∈ Aset pos (xDivided i1 i2) ∧ P a) ⇔ F)
- deep_form_nchotomy
-
⊢ ∀dd.
(∃d d0. dd = Conjn d d0) ∨ (∃d d0. dd = Disjn d d0) ∨
(∃d. dd = Negn d) ∨ (∃b. dd = UnrelatedBool b) ∨ (∃i. dd = xLT i) ∨
(∃i. dd = LTx i) ∨ (∃i. dd = xEQ i) ∨ ∃i i0. dd = xDivided i i0
- deep_form_induction
-
⊢ ∀P.
(∀d d0. P d ∧ P d0 ⇒ P (Conjn d d0)) ∧
(∀d d0. P d ∧ P d0 ⇒ P (Disjn d d0)) ∧ (∀d. P d ⇒ P (Negn d)) ∧
(∀b. P (UnrelatedBool b)) ∧ (∀i. P (xLT i)) ∧ (∀i. P (LTx i)) ∧
(∀i. P (xEQ i)) ∧ (∀i i0. P (xDivided i i0)) ⇒
∀d. P d
- deep_form_distinct
-
⊢ (∀a1' a1 a0' a0. Conjn a0 a1 ≠ Disjn a0' a1') ∧
(∀a1 a0 a. Conjn a0 a1 ≠ Negn a) ∧
(∀a1 a0 a. Conjn a0 a1 ≠ UnrelatedBool a) ∧
(∀a1 a0 a. Conjn a0 a1 ≠ xLT a) ∧ (∀a1 a0 a. Conjn a0 a1 ≠ LTx a) ∧
(∀a1 a0 a. Conjn a0 a1 ≠ xEQ a) ∧
(∀a1' a1 a0' a0. Conjn a0 a1 ≠ xDivided a0' a1') ∧
(∀a1 a0 a. Disjn a0 a1 ≠ Negn a) ∧
(∀a1 a0 a. Disjn a0 a1 ≠ UnrelatedBool a) ∧
(∀a1 a0 a. Disjn a0 a1 ≠ xLT a) ∧ (∀a1 a0 a. Disjn a0 a1 ≠ LTx a) ∧
(∀a1 a0 a. Disjn a0 a1 ≠ xEQ a) ∧
(∀a1' a1 a0' a0. Disjn a0 a1 ≠ xDivided a0' a1') ∧
(∀a' a. Negn a ≠ UnrelatedBool a') ∧ (∀a' a. Negn a ≠ xLT a') ∧
(∀a' a. Negn a ≠ LTx a') ∧ (∀a' a. Negn a ≠ xEQ a') ∧
(∀a1 a0 a. Negn a ≠ xDivided a0 a1) ∧ (∀a' a. UnrelatedBool a ≠ xLT a') ∧
(∀a' a. UnrelatedBool a ≠ LTx a') ∧ (∀a' a. UnrelatedBool a ≠ xEQ a') ∧
(∀a1 a0 a. UnrelatedBool a ≠ xDivided a0 a1) ∧ (∀a' a. xLT a ≠ LTx a') ∧
(∀a' a. xLT a ≠ xEQ a') ∧ (∀a1 a0 a. xLT a ≠ xDivided a0 a1) ∧
(∀a' a. LTx a ≠ xEQ a') ∧ (∀a1 a0 a. LTx a ≠ xDivided a0 a1) ∧
∀a1 a0 a. xEQ a ≠ xDivided a0 a1
- deep_form_case_eq
-
⊢ (deep_form_CASE x f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 = v) ⇔
(∃d d0. (x = Conjn d d0) ∧ (f d d0 = v)) ∨
(∃d d0. (x = Disjn d d0) ∧ (f1 d d0 = v)) ∨
(∃d. (x = Negn d) ∧ (f2 d = v)) ∨ (∃b. (x = UnrelatedBool b) ∧ (f3 b = v)) ∨
(∃i. (x = xLT i) ∧ (f4 i = v)) ∨ (∃i. (x = LTx i) ∧ (f5 i = v)) ∨
(∃i. (x = xEQ i) ∧ (f6 i = v)) ∨ ∃i i0. (x = xDivided i i0) ∧ (f7 i i0 = v)
- deep_form_case_cong
-
⊢ ∀M M' f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
(M = M') ∧ (∀a0 a1. (M' = Conjn a0 a1) ⇒ (f a0 a1 = f' a0 a1)) ∧
(∀a0 a1. (M' = Disjn a0 a1) ⇒ (f1 a0 a1 = f1' a0 a1)) ∧
(∀a. (M' = Negn a) ⇒ (f2 a = f2' a)) ∧
(∀a. (M' = UnrelatedBool a) ⇒ (f3 a = f3' a)) ∧
(∀a. (M' = xLT a) ⇒ (f4 a = f4' a)) ∧
(∀a. (M' = LTx a) ⇒ (f5 a = f5' a)) ∧
(∀a. (M' = xEQ a) ⇒ (f6 a = f6' a)) ∧
(∀a0 a1. (M' = xDivided a0 a1) ⇒ (f7 a0 a1 = f7' a0 a1)) ⇒
(deep_form_CASE M f f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 =
deep_form_CASE M' f' f1' f2' f3' f4' f5' f6' f7')
- deep_form_Axiom
-
⊢ ∀f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7.
∃fn.
(∀a0 a1. fn (Conjn a0 a1) = f0 a0 a1 (fn a0) (fn a1)) ∧
(∀a0 a1. fn (Disjn a0 a1) = f1 a0 a1 (fn a0) (fn a1)) ∧
(∀a. fn (Negn a) = f2 a (fn a)) ∧
(∀a. fn (UnrelatedBool a) = f3 a) ∧ (∀a. fn (xLT a) = f4 a) ∧
(∀a. fn (LTx a) = f5 a) ∧ (∀a. fn (xEQ a) = f6 a) ∧
∀a0 a1. fn (xDivided a0 a1) = f7 a0 a1
- deep_form_11
-
⊢ (∀a0 a1 a0' a1'. (Conjn a0 a1 = Conjn a0' a1') ⇔ (a0 = a0') ∧ (a1 = a1')) ∧
(∀a0 a1 a0' a1'. (Disjn a0 a1 = Disjn a0' a1') ⇔ (a0 = a0') ∧ (a1 = a1')) ∧
(∀a a'. (Negn a = Negn a') ⇔ (a = a')) ∧
(∀a a'. (UnrelatedBool a = UnrelatedBool a') ⇔ (a ⇔ a')) ∧
(∀a a'. (xLT a = xLT a') ⇔ (a = a')) ∧
(∀a a'. (LTx a = LTx a') ⇔ (a = a')) ∧
(∀a a'. (xEQ a = xEQ a') ⇔ (a = a')) ∧
∀a0 a1 a0' a1'.
(xDivided a0 a1 = xDivided a0' a1') ⇔ (a0 = a0') ∧ (a1 = a1')
- datatype_deep_form
-
⊢ DATATYPE (deep_form Conjn Disjn Negn UnrelatedBool xLT LTx xEQ xDivided)
- add_d_posinf
-
⊢ ∀f x y d.
alldivide f d ⇒
(eval_form (posinf f) x ⇔ eval_form (posinf f) (x + y * d))
- add_d_neginf
-
⊢ ∀f x y d.
alldivide f d ⇒
(eval_form (neginf f) x ⇔ eval_form (neginf f) (x + y * d))