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Theorem sfin111 4536

Description: The finite smaller relationship is one-to-one in its first argument. Theorem X.1.48 of [Rosser] p. 533. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sfin111	Sfin Sfin

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Proof of Theorem sfin111 Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sfin 4446	. . . . . . 7 Sfin Nn Nn 1
2	1	simp2bi 971	. . . . . 6 Sfin Nn
3	2	adantl 452	. . . . 5 Sfin Sfin Nn
4		ltfinirr 4457	. . . . 5 Nn fin
5	3, 4	syl 15	. . . 4 Sfin Sfin fin
6		sfinltfin 4535	. . . 4 Sfin Sfin fin fin
7	5, 6	mtand 640	. . 3 Sfin Sfin fin
8		sfinltfin 4535	. . . . . 6 Sfin Sfin fin fin
9	8	ex 423	. . . . 5 Sfin Sfin fin fin
10	9	ancoms 439	. . . 4 Sfin Sfin fin fin
11	5, 10	mtod 168	. . 3 Sfin Sfin fin
12		ioran 476	. . 3 fin fin fin fin
13	7, 11, 12	sylanbrc 645	. 2 Sfin Sfin fin fin
14		df-sfin 4446	. . . . . . 7 Sfin Nn Nn 1
15	14	simp1bi 970	. . . . . 6 Sfin Nn
16	15	adantr 451	. . . . 5 Sfin Sfin Nn
17	1	simp1bi 970	. . . . . 6 Sfin Nn
18	17	adantl 452	. . . . 5 Sfin Sfin Nn
19		ne0i 3556	. . . . . . . . . 10 1
20	19	adantr 451	. . . . . . . . 9 1
21	20	exlimiv 1634	. . . . . . . 8 1
22	21	3ad2ant3 978	. . . . . . 7 Nn Nn 1
23	14, 22	sylbi 187	. . . . . 6 Sfin
24	23	adantr 451	. . . . 5 Sfin Sfin
25		ltfintri 4466	. . . . 5 Nn Nn fin fin
26	16, 18, 24, 25	syl3anc 1182	. . . 4 Sfin Sfin fin fin
27		df-3or 935	. . . 4 fin fin fin fin
28	26, 27	sylib 188	. . 3 Sfin Sfin fin fin
29		or32 513	. . 3 fin fin fin fin
30	28, 29	sylib 188	. 2 Sfin Sfin fin fin
31		orel1 371	. 2 fin fin fin fin
32	13, 30, 31	sylc 56	1 Sfin Sfin

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 357   wa 358   w3o 933   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  c0 3550  cpw 3722  copk 4057  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373   fin cltfin 4433   Sfin wsfin 4438

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-tfin 4443  df-sfin 4446

This theorem is referenced by:  vfinspss  4551

Copyright terms: Public domain

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