QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  i0cmtrcom Unicode version
Theorem i0cmtrcom 495
Description: Commutator element ->0 commutator implies commutation.
Hypothesis
Ref Expression
i0cmtrcom.1 (a ->0 C (a, b)) = 1
Assertion
Ref Expression
i0cmtrcom a C b
Proof of Theorem i0cmtrcom
StepHypRef Expression
1 lea 160 . . . . . 6 (a ^ b) =< a
2 lea 160 . . . . . 6 (a ^ b') =< a
31, 2lel2or 170 . . . . 5 ((a ^ b) v (a ^ b')) =< a
43df-le2 131 . . . 4 (((a ^ b) v (a ^ b')) v a) = a
5 df-cmtr 134 . . . . . . . 8 C (a, b) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
65lor 70 . . . . . . 7 (a' v C (a, b)) = (a' v (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))))
76ax-r1 35 . . . . . 6 (a' v (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))) = (a' v C (a, b))
8 ax-a2 31 . . . . . . 7 (a' v ((a ^ b) v (a ^ b'))) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v a')
9 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 (a' v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v a')
10 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ b) =< a'
11 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ b') =< a'
1210, 11lel2or 170 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) =< a'
1312df-le2 131 . . . . . . . . . 10 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v a') = a'
149, 13ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a' v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) = a'
1514lor 70 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v a')
1615ax-r1 35 . . . . . . 7 (((a ^ b) v (a ^ b')) v a') = (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))))
17 or12 80 . . . . . . 7 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))) = (a' v (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))))
188, 16, 173tr 65 . . . . . 6 (a' v ((a ^ b) v (a ^ b'))) = (a' v (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))))
19 df-i0 43 . . . . . 6 (a ->0 C (a, b)) = (a' v C (a, b))
207, 18, 193tr1 63 . . . . 5 (a' v ((a ^ b) v (a ^ b'))) = (a ->0 C (a, b))
21 i0cmtrcom.1 . . . . 5 (a ->0 C (a, b)) = 1
2220, 21ax-r2 36 . . . 4 (a' v ((a ^ b) v (a ^ b'))) = 1
234, 22lem3.1 443 . . 3 ((a ^ b) v (a ^ b')) = a
2423ax-r1 35 . 2 a = ((a ^ b) v (a ^ b'))
2524df-c1 132 1 a C b
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   C wc 3  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->0 wi0 11   C wcmtr 29
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i0 43  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-cmtr 134
This theorem is referenced by:  3vded3  819
  Copyright terms: Public domain W3C validator