QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  lem3.3.7i1e2 Unicode version
Theorem lem3.3.7i1e2 1061
Description: Equation 3.7 of [PavMeg1999] p. 9. The variable i in the paper is set to 1, and this is the second part of the equation. (Contributed by Roy F. Longton, 3-Jul-05.)
Assertion
Ref Expression
lem3.3.7i1e2 (a ==1 (a ^ b)) = ((a ^ b) ==1 a)
Proof of Theorem lem3.3.7i1e2
StepHypRef Expression
1 oran3 93 . . . . . 6 (a' v b') = (a ^ b)'
21ax-r1 35 . . . . 5 (a ^ b)' = (a' v b')
32lor 70 . . . 4 (a v (a ^ b)') = (a v (a' v b'))
43ran 78 . . 3 ((a v (a ^ b)') ^ (a' v (a ^ (a ^ b)))) = ((a v (a' v b')) ^ (a' v (a ^ (a ^ b))))
5 ax-a3 32 . . . . 5 ((a v a') v b') = (a v (a' v b'))
65ax-r1 35 . . . 4 (a v (a' v b')) = ((a v a') v b')
76ran 78 . . 3 ((a v (a' v b')) ^ (a' v (a ^ (a ^ b)))) = (((a v a') v b') ^ (a' v (a ^ (a ^ b))))
8 df-t 41 . . . . . . 7 1 = (a v a')
98ax-r1 35 . . . . . 6 (a v a') = 1
109ax-r5 38 . . . . 5 ((a v a') v b') = (1 v b')
1110ran 78 . . . 4 (((a v a') v b') ^ (a' v (a ^ (a ^ b)))) = ((1 v b') ^ (a' v (a ^ (a ^ b))))
12 or1r 105 . . . . 5 (1 v b') = 1
1312ran 78 . . . 4 ((1 v b') ^ (a' v (a ^ (a ^ b)))) = (1 ^ (a' v (a ^ (a ^ b))))
14 an1r 107 . . . . 5 (1 ^ (a' v (a ^ (a ^ b)))) = (a' v (a ^ (a ^ b)))
15 anass 76 . . . . . . 7 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ (a ^ b))
1615ax-r1 35 . . . . . 6 (a ^ (a ^ b)) = ((a ^ a) ^ b)
1716lor 70 . . . . 5 (a' v (a ^ (a ^ b))) = (a' v ((a ^ a) ^ b))
18 anidm 111 . . . . . . . 8 (a ^ a) = a
1918ran 78 . . . . . . 7 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ b)
2019lor 70 . . . . . 6 (a' v ((a ^ a) ^ b)) = (a' v (a ^ b))
21 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (a' v (a ^ b)) = ((a ^ b) v a')
22 an1 106 . . . . . . . . . 10 (((a ^ b) v a') ^ 1) = ((a ^ b) v a')
2322ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v a') = (((a ^ b) v a') ^ 1)
24 df-t 41 . . . . . . . . . 10 1 = ((a ^ b) v (a ^ b)')
2524lan 77 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v a') ^ 1) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b) v (a ^ b)'))
2621, 23, 253tr 65 . . . . . . . 8 (a' v (a ^ b)) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b) v (a ^ b)'))
27 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v (a ^ b)') = ((a ^ b)' v (a ^ b))
2827lan 77 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b) v (a ^ b)')) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v (a ^ b)))
2918ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 a = (a ^ a)
3029ran 78 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) = ((a ^ a) ^ b)
3130lor 70 . . . . . . . . 9 ((a ^ b)' v (a ^ b)) = ((a ^ b)' v ((a ^ a) ^ b))
3231lan 77 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v (a ^ b))) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ a) ^ b)))
3326, 28, 323tr 65 . . . . . . 7 (a' v (a ^ b)) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ a) ^ b)))
3415lor 70 . . . . . . . 8 ((a ^ b)' v ((a ^ a) ^ b)) = ((a ^ b)' v (a ^ (a ^ b)))
3534lan 77 . . . . . . 7 (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ a) ^ b))) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v (a ^ (a ^ b))))
36 ancom 74 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) = (b ^ a)
3736lan 77 . . . . . . . . 9 (a ^ (a ^ b)) = (a ^ (b ^ a))
3837lor 70 . . . . . . . 8 ((a ^ b)' v (a ^ (a ^ b))) = ((a ^ b)' v (a ^ (b ^ a)))
3938lan 77 . . . . . . 7 (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v (a ^ (a ^ b)))) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v (a ^ (b ^ a))))
4033, 35, 393tr 65 . . . . . 6 (a' v (a ^ b)) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v (a ^ (b ^ a))))
41 anass 76 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) ^ a) = (a ^ (b ^ a))
4241ax-r1 35 . . . . . . . 8 (a ^ (b ^ a)) = ((a ^ b) ^ a)
4342lor 70 . . . . . . 7 ((a ^ b)' v (a ^ (b ^ a))) = ((a ^ b)' v ((a ^ b) ^ a))
4443lan 77 . . . . . 6 (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v (a ^ (b ^ a)))) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ b) ^ a)))
4520, 40, 443tr 65 . . . . 5 (a' v ((a ^ a) ^ b)) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ b) ^ a)))
4614, 17, 453tr 65 . . . 4 (1 ^ (a' v (a ^ (a ^ b)))) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ b) ^ a)))
4711, 13, 463tr 65 . . 3 (((a v a') v b') ^ (a' v (a ^ (a ^ b)))) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ b) ^ a)))
484, 7, 473tr 65 . 2 ((a v (a ^ b)') ^ (a' v (a ^ (a ^ b)))) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ b) ^ a)))
49 df-id1 50 . 2 (a ==1 (a ^ b)) = ((a v (a ^ b)') ^ (a' v (a ^ (a ^ b))))
50 df-id1 50 . 2 ((a ^ b) ==1 a) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b)' v ((a ^ b) ^ a)))
5148, 49, 503tr1 63 1 (a ==1 (a ^ b)) = ((a ^ b) ==1 a)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ==1 wid1 18
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38
This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-id1 50
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator