QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  lem3.3.7i2e2 Unicode version
Theorem lem3.3.7i2e2 1064
Description: Equation 3.7 of [PavMeg1999] p. 9. The variable i in the paper is set to 2, and this is the second part of the equation. (Contributed by Roy F. Longton, 3-Jul-05.)
Assertion
Ref Expression
lem3.3.7i2e2 (a ==2 (a ^ b)) = ((a ^ b) ==2 a)
Proof of Theorem lem3.3.7i2e2
StepHypRef Expression
1 oran3 93 . . . . . 6 (a' v b') = (a ^ b)'
21ax-r1 35 . . . . 5 (a ^ b)' = (a' v b')
32lor 70 . . . 4 (a v (a ^ b)') = (a v (a' v b'))
43ran 78 . . 3 ((a v (a ^ b)') ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))) = ((a v (a' v b')) ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)')))
5 ax-a3 32 . . . . 5 ((a v a') v b') = (a v (a' v b'))
65ax-r1 35 . . . 4 (a v (a' v b')) = ((a v a') v b')
76ran 78 . . 3 ((a v (a' v b')) ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))) = (((a v a') v b') ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)')))
8 df-t 41 . . . . . . 7 1 = (a v a')
98ax-r1 35 . . . . . 6 (a v a') = 1
109ax-r5 38 . . . . 5 ((a v a') v b') = (1 v b')
1110ran 78 . . . 4 (((a v a') v b') ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))) = ((1 v b') ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)')))
12 or1r 105 . . . . 5 (1 v b') = 1
1312ran 78 . . . 4 ((1 v b') ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))) = (1 ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)')))
14 an1r 107 . . . . 5 (1 ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))) = ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))
15 anor3 90 . . . . . 6 (a' ^ (a ^ b)') = (a v (a ^ b))'
1615lor 70 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)')) = ((a ^ b) v (a v (a ^ b))')
17 orabs 120 . . . . . . . 8 (a v (a ^ b)) = a
1817ax-r4 37 . . . . . . 7 (a v (a ^ b))' = a'
1918lor 70 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a v (a ^ b))') = ((a ^ b) v a')
20 an1 106 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v a') ^ 1) = ((a ^ b) v a')
2120ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v a') = (((a ^ b) v a') ^ 1)
228lan 77 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v a') ^ 1) = (((a ^ b) v a') ^ (a v a'))
2321, 22ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a ^ b) v a') = (((a ^ b) v a') ^ (a v a'))
24 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b) =< a
2524df-le2 131 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ b) v a) = a
2625ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 a = ((a ^ b) v a)
2726ax-r4 37 . . . . . . . . 9 a' = ((a ^ b) v a)'
2827lor 70 . . . . . . . 8 (a v a') = (a v ((a ^ b) v a)')
2928lan 77 . . . . . . 7 (((a ^ b) v a') ^ (a v a')) = (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b) v a)'))
30 anor3 90 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b)' ^ a') = ((a ^ b) v a)'
3130ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v a)' = ((a ^ b)' ^ a')
3231lor 70 . . . . . . . 8 (a v ((a ^ b) v a)') = (a v ((a ^ b)' ^ a'))
3332lan 77 . . . . . . 7 (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b) v a)')) = (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b)' ^ a')))
3423, 29, 333tr 65 . . . . . 6 ((a ^ b) v a') = (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b)' ^ a')))
3519, 34ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ b) v (a v (a ^ b))') = (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b)' ^ a')))
3614, 16, 353tr 65 . . . 4 (1 ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))) = (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b)' ^ a')))
3711, 13, 363tr 65 . . 3 (((a v a') v b') ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))) = (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b)' ^ a')))
384, 7, 373tr 65 . 2 ((a v (a ^ b)') ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)'))) = (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b)' ^ a')))
39 df-id2 51 . 2 (a ==2 (a ^ b)) = ((a v (a ^ b)') ^ ((a ^ b) v (a' ^ (a ^ b)')))
40 df-id2 51 . 2 ((a ^ b) ==2 a) = (((a ^ b) v a') ^ (a v ((a ^ b)' ^ a')))
4138, 39, 403tr1 63 1 (a ==2 (a ^ b)) = ((a ^ b) ==2 a)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ==2 wid2 19
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38
This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-id2 51  df-le1 130  df-le2 131
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator