QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  lem3.3.7i3e2 Unicode version
Theorem lem3.3.7i3e2 1067
Description: Equation 3.7 of [PavMeg1999] p. 9. The variable i in the paper is set to 3, and this is the second part of the equation. (Contributed by Roy F. Longton, 3-Jul-05.)
Assertion
Ref Expression
lem3.3.7i3e2 (a ==3 (a ^ b)) = ((a ^ b) ==3 a)
Proof of Theorem lem3.3.7i3e2
StepHypRef Expression
1 anor3 90 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (a ^ b)') = (a v (a ^ b))'
21lor 70 . . . . . . . . 9 (a v (a' ^ (a ^ b)')) = (a v (a v (a ^ b))')
32lan 77 . . . . . . . 8 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ (a ^ b)'))) = ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a v (a ^ b))'))
4 orabs 120 . . . . . . . . . . 11 (a v (a ^ b)) = a
54ax-r4 37 . . . . . . . . . 10 (a v (a ^ b))' = a'
65lor 70 . . . . . . . . 9 (a v (a v (a ^ b))') = (a v a')
76lan 77 . . . . . . . 8 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a v (a ^ b))')) = ((a' v (a ^ b)) ^ (a v a'))
8 df-t 41 . . . . . . . . . . 11 1 = (a v a')
98ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a v a') = 1
109lan 77 . . . . . . . . 9 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v a')) = ((a' v (a ^ b)) ^ 1)
11 an1 106 . . . . . . . . 9 ((a' v (a ^ b)) ^ 1) = (a' v (a ^ b))
12 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (a' v (a ^ b)) = ((a ^ b) v a')
1310, 11, 123tr 65 . . . . . . . 8 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v a')) = ((a ^ b) v a')
143, 7, 133tr 65 . . . . . . 7 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ (a ^ b)'))) = ((a ^ b) v a')
15 lea 160 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b) =< a
1615df-le2 131 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v a) = a
1716ax-r1 35 . . . . . . . . 9 a = ((a ^ b) v a)
1817ax-r4 37 . . . . . . . 8 a' = ((a ^ b) v a)'
1918lor 70 . . . . . . 7 ((a ^ b) v a') = ((a ^ b) v ((a ^ b) v a)')
20 anor3 90 . . . . . . . . 9 ((a ^ b)' ^ a') = ((a ^ b) v a)'
2120ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v a)' = ((a ^ b)' ^ a')
2221lor 70 . . . . . . 7 ((a ^ b) v ((a ^ b) v a)') = ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))
2314, 19, 223tr 65 . . . . . 6 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ (a ^ b)'))) = ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))
24 an1r 107 . . . . . . 7 (1 ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))) = ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))
2524ax-r1 35 . . . . . 6 ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')) = (1 ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
2623, 25ax-r2 36 . . . . 5 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ (a ^ b)'))) = (1 ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
27 or1 104 . . . . . . 7 (b' v 1) = 1
2827ax-r1 35 . . . . . 6 1 = (b' v 1)
2928ran 78 . . . . 5 (1 ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))) = ((b' v 1) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
308lor 70 . . . . . 6 (b' v 1) = (b' v (a v a'))
3130ran 78 . . . . 5 ((b' v 1) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))) = ((b' v (a v a')) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
3226, 29, 313tr 65 . . . 4 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ (a ^ b)'))) = ((b' v (a v a')) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
33 ax-a2 31 . . . . . 6 (a v a') = (a' v a)
3433lor 70 . . . . 5 (b' v (a v a')) = (b' v (a' v a))
3534ran 78 . . . 4 ((b' v (a v a')) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))) = ((b' v (a' v a)) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
36 ax-a3 32 . . . . . 6 ((b' v a') v a) = (b' v (a' v a))
3736ax-r1 35 . . . . 5 (b' v (a' v a)) = ((b' v a') v a)
3837ran 78 . . . 4 ((b' v (a' v a)) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))) = (((b' v a') v a) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
3932, 35, 383tr 65 . . 3 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ (a ^ b)'))) = (((b' v a') v a) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
40 ax-a2 31 . . . . 5 (b' v a') = (a' v b')
4140ax-r5 38 . . . 4 ((b' v a') v a) = ((a' v b') v a)
4241ran 78 . . 3 (((b' v a') v a) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))) = (((a' v b') v a) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
43 oran3 93 . . . . 5 (a' v b') = (a ^ b)'
4443ax-r5 38 . . . 4 ((a' v b') v a) = ((a ^ b)' v a)
4544ran 78 . . 3 (((a' v b') v a) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a'))) = (((a ^ b)' v a) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
4639, 42, 453tr 65 . 2 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ (a ^ b)'))) = (((a ^ b)' v a) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
47 df-id3 52 . 2 (a ==3 (a ^ b)) = ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ (a ^ b)')))
48 df-id3 52 . 2 ((a ^ b) ==3 a) = (((a ^ b)' v a) ^ ((a ^ b) v ((a ^ b)' ^ a')))
4946, 47, 483tr1 63 1 (a ==3 (a ^ b)) = ((a ^ b) ==3 a)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ==3 wid3 20
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38
This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-id3 52  df-le1 130  df-le2 131
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator