QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  lem4.6.2e1 Unicode version
Theorem lem4.6.2e1 1080
Description: Equation 4.10 of [MegPav2000] p. 23. This is the first part of the equation. (Contributed by Roy F. Longton, 3-Jul-05.)
Assertion
Ref Expression
lem4.6.2e1 ((a ->1 b) ^ (a' ->1 b)) = ((a ->1 b) ^ b)
Proof of Theorem lem4.6.2e1
StepHypRef Expression
1 df-i1 44 . . 3 (a ->1 b) = (a' v (a ^ b))
2 df-i1 44 . . 3 (a' ->1 b) = (a'' v (a' ^ b))
31, 22an 79 . 2 ((a ->1 b) ^ (a' ->1 b)) = ((a' v (a ^ b)) ^ (a'' v (a' ^ b)))
4 ax-a1 30 . . . . . 6 a = a''
54ax-r1 35 . . . . 5 a'' = a
65ax-r5 38 . . . 4 (a'' v (a' ^ b)) = (a v (a' ^ b))
76lan 77 . . 3 ((a' v (a ^ b)) ^ (a'' v (a' ^ b))) = ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ b)))
8 comorr 184 . . . . . 6 a' C (a' v (a ^ b))
98comcom6 459 . . . . 5 a C (a' v (a ^ b))
109comcom 453 . . . 4 (a' v (a ^ b)) C a
11 leao1 162 . . . . . 6 (a' ^ b) =< (a' v (a ^ b))
1211lecom 180 . . . . 5 (a' ^ b) C (a' v (a ^ b))
1312comcom 453 . . . 4 (a' v (a ^ b)) C (a' ^ b)
1410, 13fh1 469 . . 3 ((a' v (a ^ b)) ^ (a v (a' ^ b))) = (((a' v (a ^ b)) ^ a) v ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b)))
15 ancom 74 . . . . 5 ((a' v (a ^ b)) ^ a) = (a ^ (a' v (a ^ b)))
1615ax-r5 38 . . . 4 (((a' v (a ^ b)) ^ a) v ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b))) = ((a ^ (a' v (a ^ b))) v ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b)))
17 omla 447 . . . . 5 (a ^ (a' v (a ^ b))) = (a ^ b)
1817ax-r5 38 . . . 4 ((a ^ (a' v (a ^ b))) v ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b))) = ((a ^ b) v ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b)))
19 ancom 74 . . . . . 6 ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b)) = ((a' ^ b) ^ (a' v (a ^ b)))
2019lor 70 . . . . 5 ((a ^ b) v ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b))) = ((a ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a' v (a ^ b))))
21 coman1 185 . . . . . . 7 (a' ^ b) C a'
2221comcom7 460 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C a
23 coman2 186 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C b
2422, 23com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b) C (a ^ b)
2521, 24fh1 469 . . . . . 6 ((a' ^ b) ^ (a' v (a ^ b))) = (((a' ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))
2625lor 70 . . . . 5 ((a ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a' v (a ^ b)))) = ((a ^ b) v (((a' ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))))
27 ancom 74 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) = (b ^ a')
2827ran 78 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ a') = ((b ^ a') ^ a')
2928ax-r5 38 . . . . . . 7 (((a' ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))) = (((b ^ a') ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))
3029lor 70 . . . . . 6 ((a ^ b) v (((a' ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))) = ((a ^ b) v (((b ^ a') ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))))
31 anass 76 . . . . . . . 8 ((b ^ a') ^ a') = (b ^ (a' ^ a'))
3231ax-r5 38 . . . . . . 7 (((b ^ a') ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))) = ((b ^ (a' ^ a')) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))
3332lor 70 . . . . . 6 ((a ^ b) v (((b ^ a') ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))) = ((a ^ b) v ((b ^ (a' ^ a')) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))))
34 anidm 111 . . . . . . . . . 10 (a' ^ a') = a'
3534lan 77 . . . . . . . . 9 (b ^ (a' ^ a')) = (b ^ a')
3635ax-r5 38 . . . . . . . 8 ((b ^ (a' ^ a')) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))) = ((b ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))
3736lor 70 . . . . . . 7 ((a ^ b) v ((b ^ (a' ^ a')) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))) = ((a ^ b) v ((b ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))))
38 ancom 74 . . . . . . . . 9 (b ^ a') = (a' ^ b)
3938ax-r5 38 . . . . . . . 8 ((b ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))) = ((a' ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))
4039lor 70 . . . . . . 7 ((a ^ b) v ((b ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))) = ((a ^ b) v ((a' ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))))
41 orabs 120 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b))) = (a' ^ b)
4241lor 70 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v ((a' ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
43 coman1 185 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) C a
4443comcom2 183 . . . . . . . . 9 (a ^ b) C a'
45 coman2 186 . . . . . . . . 9 (a ^ b) C b
4644, 45fh3 471 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v (a' ^ b)) = (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b) v b))
47 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v a') = (a' v (a ^ b))
48 lear 161 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) =< b
4948df-le2 131 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v b) = b
5047, 492an 79 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v a') ^ ((a ^ b) v b)) = ((a' v (a ^ b)) ^ b)
5142, 46, 503tr 65 . . . . . . 7 ((a ^ b) v ((a' ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))) = ((a' v (a ^ b)) ^ b)
5237, 40, 513tr 65 . . . . . 6 ((a ^ b) v ((b ^ (a' ^ a')) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))) = ((a' v (a ^ b)) ^ b)
5330, 33, 523tr 65 . . . . 5 ((a ^ b) v (((a' ^ b) ^ a') v ((a' ^ b) ^ (a ^ b)))) = ((a' v (a ^ b)) ^ b)
5420, 26, 533tr 65 . . . 4 ((a ^ b) v ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b))) = ((a' v (a ^ b)) ^ b)
5516, 18, 543tr 65 . . 3 (((a' v (a ^ b)) ^ a) v ((a' v (a ^ b)) ^ (a' ^ b))) = ((a' v (a ^ b)) ^ b)
567, 14, 553tr 65 . 2 ((a' v (a ^ b)) ^ (a'' v (a' ^ b))) = ((a' v (a ^ b)) ^ b)
571ax-r1 35 . . 3 (a' v (a ^ b)) = (a ->1 b)
5857ran 78 . 2 ((a' v (a ^ b)) ^ b) = ((a ->1 b) ^ b)
593, 56, 583tr 65 1 ((a ->1 b) ^ (a' ->1 b)) = ((a ->1 b) ^ b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->1 wi1 12
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator