QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  lem4.6.6i2j4 Unicode version
Theorem lem4.6.6i2j4 1095
Description: Equation 4.14 of [MegPav2000] p. 23. The variable i in the paper is set to 2, and j is set to 4. (Contributed by Roy F. Longton, 3-Jul-05.)
Assertion
Ref Expression
lem4.6.6i2j4 ((a ->2 b) v (a ->4 b)) = (a ->0 b)
Proof of Theorem lem4.6.6i2j4
StepHypRef Expression
1 ax-a2 31 . . . 4 (b v (a' ^ b')) = ((a' ^ b') v b)
21ax-r5 38 . . 3 ((b v (a' ^ b')) v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))) = (((a' ^ b') v b) v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')))
3 ax-a3 32 . . 3 (((a' ^ b') v b) v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))) = ((a' ^ b') v (b v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))))
4 ax-a3 32 . . . . . 6 ((b v ((a ^ b) v (a' ^ b))) v ((a' v b) ^ b')) = (b v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')))
54ax-r1 35 . . . . 5 (b v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))) = ((b v ((a ^ b) v (a' ^ b))) v ((a' v b) ^ b'))
65lor 70 . . . 4 ((a' ^ b') v (b v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')))) = ((a' ^ b') v ((b v ((a ^ b) v (a' ^ b))) v ((a' v b) ^ b')))
7 ax-a2 31 . . . . . 6 (b v ((a ^ b) v (a' ^ b))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v b)
87ax-r5 38 . . . . 5 ((b v ((a ^ b) v (a' ^ b))) v ((a' v b) ^ b')) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) v ((a' v b) ^ b'))
98lor 70 . . . 4 ((a' ^ b') v ((b v ((a ^ b) v (a' ^ b))) v ((a' v b) ^ b'))) = ((a' ^ b') v ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) v ((a' v b) ^ b')))
10 ax-a3 32 . . . . . 6 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) v ((a' v b) ^ b')) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b v ((a' v b) ^ b')))
1110lor 70 . . . . 5 ((a' ^ b') v ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) v ((a' v b) ^ b'))) = ((a' ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b v ((a' v b) ^ b'))))
12 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((a' v b) ^ b') = (b' ^ (a' v b))
1312lor 70 . . . . . . . 8 (b v ((a' v b) ^ b')) = (b v (b' ^ (a' v b)))
14 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 (a' v b) = (b v a')
1514lan 77 . . . . . . . . 9 (b' ^ (a' v b)) = (b' ^ (b v a'))
1615lor 70 . . . . . . . 8 (b v (b' ^ (a' v b))) = (b v (b' ^ (b v a')))
17 oml 445 . . . . . . . . 9 (b v (b' ^ (b v a'))) = (b v a')
18 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (b v a') = (a' v b)
1917, 18ax-r2 36 . . . . . . . 8 (b v (b' ^ (b v a'))) = (a' v b)
2013, 16, 193tr 65 . . . . . . 7 (b v ((a' v b) ^ b')) = (a' v b)
2120lor 70 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b v ((a' v b) ^ b'))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' v b))
2221lor 70 . . . . 5 ((a' ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b v ((a' v b) ^ b')))) = ((a' ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' v b)))
23 leao1 162 . . . . . . 7 (a' ^ b') =< (a' v b)
24 leao4 165 . . . . . . . . 9 (a ^ b) =< (a' v b)
25 leao1 162 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) =< (a' v b)
2624, 25lel2or 170 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v (a' ^ b)) =< (a' v b)
27 leid 148 . . . . . . . 8 (a' v b) =< (a' v b)
2826, 27lel2or 170 . . . . . . 7 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' v b)) =< (a' v b)
2923, 28lel2or 170 . . . . . 6 ((a' ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' v b))) =< (a' v b)
30 leor 159 . . . . . . 7 (a' v b) =< (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' v b))
3130lerr 150 . . . . . 6 (a' v b) =< ((a' ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' v b)))
3229, 31lebi 145 . . . . 5 ((a' ^ b') v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' v b))) = (a' v b)
3311, 22, 323tr 65 . . . 4 ((a' ^ b') v ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) v ((a' v b) ^ b'))) = (a' v b)
346, 9, 333tr 65 . . 3 ((a' ^ b') v (b v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')))) = (a' v b)
352, 3, 343tr 65 . 2 ((b v (a' ^ b')) v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))) = (a' v b)
36 df-i2 45 . . 3 (a ->2 b) = (b v (a' ^ b'))
37 df-i4 47 . . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
3836, 372or 72 . 2 ((a ->2 b) v (a ->4 b)) = ((b v (a' ^ b')) v (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')))
39 df-i0 43 . 2 (a ->0 b) = (a' v b)
4035, 38, 393tr1 63 1 ((a ->2 b) v (a ->4 b)) = (a ->0 b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->0 wi0 11   ->2 wi2 13   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i0 43  df-i2 45  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator