QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lem11 Unicode version
Theorem u3lem11 786
Description: Lemma for unified implication study.
Assertion
Ref Expression
u3lem11 (a ->3 (b' ^ (a v b))) = (a ->3 b')
Proof of Theorem u3lem11
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . 2 (a ->3 (b' ^ (a v b))) = (((a' ^ (b' ^ (a v b))) v (a' ^ (b' ^ (a v b))')) v (a ^ (a' v (b' ^ (a v b)))))
2 ax-a1 30 . . . . . 6 b = b''
32lan 77 . . . . 5 (a' ^ b) = (a' ^ b'')
43lor 70 . . . 4 ((a' ^ b') v (a' ^ b)) = ((a' ^ b') v (a' ^ b''))
54ax-r5 38 . . 3 (((a' ^ b') v (a' ^ b)) v (a ^ (a' v b'))) = (((a' ^ b') v (a' ^ b'')) v (a ^ (a' v b')))
6 oran 87 . . . . . . . 8 (a v b) = (a' ^ b')'
76lan 77 . . . . . . 7 ((a' ^ b') ^ (a v b)) = ((a' ^ b') ^ (a' ^ b')')
8 anass 76 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ (a v b)) = (a' ^ (b' ^ (a v b)))
98ax-r1 35 . . . . . . 7 (a' ^ (b' ^ (a v b))) = ((a' ^ b') ^ (a v b))
10 dff 101 . . . . . . 7 0 = ((a' ^ b') ^ (a' ^ b')')
117, 9, 103tr1 63 . . . . . 6 (a' ^ (b' ^ (a v b))) = 0
12 anor3 90 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ b') = (a v b)'
1312ax-r5 38 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ b') v b) = ((a v b)' v b)
14 ax-a2 31 . . . . . . . . . . 11 ((a v b)' v b) = (b v (a v b)')
1513, 14ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b') v b) = (b v (a v b)')
16 oran1 91 . . . . . . . . . 10 (b v (a v b)') = (b' ^ (a v b))'
1715, 16ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b') v b) = (b' ^ (a v b))'
1817ax-r1 35 . . . . . . . 8 (b' ^ (a v b))' = ((a' ^ b') v b)
1918lan 77 . . . . . . 7 (a' ^ (b' ^ (a v b))') = (a' ^ ((a' ^ b') v b))
20 coman1 185 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') C a'
21 coman2 186 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b') C b'
2221comcom7 460 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') C b
2320, 22fh2 470 . . . . . . . 8 (a' ^ ((a' ^ b') v b)) = ((a' ^ (a' ^ b')) v (a' ^ b))
24 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ a') ^ b') = (a' ^ (a' ^ b'))
2524ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (a' ^ b')) = ((a' ^ a') ^ b')
26 anidm 111 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ a') = a'
2726ran 78 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ a') ^ b') = (a' ^ b')
2825, 27ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a' ^ (a' ^ b')) = (a' ^ b')
2928ax-r5 38 . . . . . . . 8 ((a' ^ (a' ^ b')) v (a' ^ b)) = ((a' ^ b') v (a' ^ b))
3023, 29ax-r2 36 . . . . . . 7 (a' ^ ((a' ^ b') v b)) = ((a' ^ b') v (a' ^ b))
3119, 30ax-r2 36 . . . . . 6 (a' ^ (b' ^ (a v b))') = ((a' ^ b') v (a' ^ b))
3211, 312or 72 . . . . 5 ((a' ^ (b' ^ (a v b))) v (a' ^ (b' ^ (a v b))')) = (0 v ((a' ^ b') v (a' ^ b)))
33 ax-a2 31 . . . . . 6 (0 v ((a' ^ b') v (a' ^ b))) = (((a' ^ b') v (a' ^ b)) v 0)
34 or0 102 . . . . . 6 (((a' ^ b') v (a' ^ b)) v 0) = ((a' ^ b') v (a' ^ b))
3533, 34ax-r2 36 . . . . 5 (0 v ((a' ^ b') v (a' ^ b))) = ((a' ^ b') v (a' ^ b))
3632, 35ax-r2 36 . . . 4 ((a' ^ (b' ^ (a v b))) v (a' ^ (b' ^ (a v b))')) = ((a' ^ b') v (a' ^ b))
37 ax-a2 31 . . . . . . . . . . 11 (a' v a) = (a v a')
38 df-t 41 . . . . . . . . . . . 12 1 = (a v a')
3938ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (a v a') = 1
4037, 39ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a' v a) = 1
4140ax-r5 38 . . . . . . . . 9 ((a' v a) v b) = (1 v b)
42 ax-a3 32 . . . . . . . . 9 ((a' v a) v b) = (a' v (a v b))
43 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 (1 v b) = (b v 1)
44 or1 104 . . . . . . . . . 10 (b v 1) = 1
4543, 44ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (1 v b) = 1
4641, 42, 453tr2 64 . . . . . . . 8 (a' v (a v b)) = 1
4746ran 78 . . . . . . 7 ((a' v (a v b)) ^ (a' v b')) = (1 ^ (a' v b'))
48 ancom 74 . . . . . . . 8 (1 ^ (a' v b')) = ((a' v b') ^ 1)
49 an1 106 . . . . . . . 8 ((a' v b') ^ 1) = (a' v b')
5048, 49ax-r2 36 . . . . . . 7 (1 ^ (a' v b')) = (a' v b')
5147, 50ax-r2 36 . . . . . 6 ((a' v (a v b)) ^ (a' v b')) = (a' v b')
5251lan 77 . . . . 5 (a ^ ((a' v (a v b)) ^ (a' v b'))) = (a ^ (a' v b'))
53 ancom 74 . . . . . . . 8 (b' ^ (a v b)) = ((a v b) ^ b')
5453lor 70 . . . . . . 7 (a' v (b' ^ (a v b))) = (a' v ((a v b) ^ b'))
55 comor1 461 . . . . . . . . 9 (a v b) C a
5655comcom2 183 . . . . . . . 8 (a v b) C a'
57 comor2 462 . . . . . . . . 9 (a v b) C b
5857comcom2 183 . . . . . . . 8 (a v b) C b'
5956, 58fh4 472 . . . . . . 7 (a' v ((a v b) ^ b')) = ((a' v (a v b)) ^ (a' v b'))
6054, 59ax-r2 36 . . . . . 6 (a' v (b' ^ (a v b))) = ((a' v (a v b)) ^ (a' v b'))
6160lan 77 . . . . 5 (a ^ (a' v (b' ^ (a v b)))) = (a ^ ((a' v (a v b)) ^ (a' v b')))
62 id 59 . . . . 5 (a ^ (a' v b')) = (a ^ (a' v b'))
6352, 61, 623tr1 63 . . . 4 (a ^ (a' v (b' ^ (a v b)))) = (a ^ (a' v b'))
6436, 632or 72 . . 3 (((a' ^ (b' ^ (a v b))) v (a' ^ (b' ^ (a v b))')) v (a ^ (a' v (b' ^ (a v b))))) = (((a' ^ b') v (a' ^ b)) v (a ^ (a' v b')))
65 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b') = (((a' ^ b') v (a' ^ b'')) v (a ^ (a' v b')))
665, 64, 653tr1 63 . 2 (((a' ^ (b' ^ (a v b))) v (a' ^ (b' ^ (a v b))')) v (a ^ (a' v (b' ^ (a v b))))) = (a ->3 b')
671, 66ax-r2 36 1 (a ->3 (b' ^ (a v b))) = (a ->3 b')
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u3lem11a  787
  Copyright terms: Public domain W3C validator