QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lemonb Unicode version
Theorem u3lemonb 637
Description: Lemma for Kalmbach implication study.
Assertion
Ref Expression
u3lemonb ((a ->3 b) v b') = 1
Proof of Theorem u3lemonb
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
21ax-r5 38 . 2 ((a ->3 b) v b') = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) v b')
3 or32 82 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) v b') = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b') v (a ^ (a' v b)))
4 ax-a3 32 . . . . . 6 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b') = ((a' ^ b) v ((a' ^ b') v b'))
5 lear 161 . . . . . . . 8 (a' ^ b') =< b'
65df-le2 131 . . . . . . 7 ((a' ^ b') v b') = b'
76lor 70 . . . . . 6 ((a' ^ b) v ((a' ^ b') v b')) = ((a' ^ b) v b')
84, 7ax-r2 36 . . . . 5 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b') = ((a' ^ b) v b')
9 ancom 74 . . . . 5 (a ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ a)
108, 92or 72 . . . 4 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b') v (a ^ (a' v b))) = (((a' ^ b) v b') v ((a' v b) ^ a))
11 comor1 461 . . . . . . . 8 (a' v b) C a'
12 comor2 462 . . . . . . . 8 (a' v b) C b
1311, 12com2an 484 . . . . . . 7 (a' v b) C (a' ^ b)
1412comcom2 183 . . . . . . 7 (a' v b) C b'
1513, 14com2or 483 . . . . . 6 (a' v b) C ((a' ^ b) v b')
1611comcom7 460 . . . . . 6 (a' v b) C a
1715, 16fh4 472 . . . . 5 (((a' ^ b) v b') v ((a' v b) ^ a)) = ((((a' ^ b) v b') v (a' v b)) ^ (((a' ^ b) v b') v a))
18 ax-a3 32 . . . . . . . 8 (((a' ^ b) v b') v (a' v b)) = ((a' ^ b) v (b' v (a' v b)))
19 ax-a2 31 . . . . . . . . . . 11 (b' v (a' v b)) = ((a' v b) v b')
20 ax-a3 32 . . . . . . . . . . . 12 ((a' v b) v b') = (a' v (b v b'))
21 df-t 41 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (b v b')
2221ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (b v b') = 1
2322lor 70 . . . . . . . . . . . . 13 (a' v (b v b')) = (a' v 1)
24 or1 104 . . . . . . . . . . . . 13 (a' v 1) = 1
2523, 24ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 (a' v (b v b')) = 1
2620, 25ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a' v b) v b') = 1
2719, 26ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (b' v (a' v b)) = 1
2827lor 70 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) v (b' v (a' v b))) = ((a' ^ b) v 1)
29 or1 104 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) v 1) = 1
3028, 29ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) v (b' v (a' v b))) = 1
3118, 30ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a' ^ b) v b') v (a' v b)) = 1
32 ax-a3 32 . . . . . . . 8 (((a' ^ b) v b') v a) = ((a' ^ b) v (b' v a))
33 ancom 74 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ b) = (b ^ a')
34 anor1 88 . . . . . . . . . . . . 13 (b ^ a') = (b' v a)'
3533, 34ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ b) = (b' v a)'
3635con2 67 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b)' = (b' v a)
3736ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (b' v a) = (a' ^ b)'
3837lor 70 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) v (b' v a)) = ((a' ^ b) v (a' ^ b)')
39 df-t 41 . . . . . . . . . 10 1 = ((a' ^ b) v (a' ^ b)')
4039ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) v (a' ^ b)') = 1
4138, 40ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) v (b' v a)) = 1
4232, 41ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a' ^ b) v b') v a) = 1
4331, 422an 79 . . . . . 6 ((((a' ^ b) v b') v (a' v b)) ^ (((a' ^ b) v b') v a)) = (1 ^ 1)
44 an1 106 . . . . . 6 (1 ^ 1) = 1
4543, 44ax-r2 36 . . . . 5 ((((a' ^ b) v b') v (a' v b)) ^ (((a' ^ b) v b') v a)) = 1
4617, 45ax-r2 36 . . . 4 (((a' ^ b) v b') v ((a' v b) ^ a)) = 1
4710, 46ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b') v (a ^ (a' v b))) = 1
483, 47ax-r2 36 . 2 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) v b') = 1
492, 48ax-r2 36 1 ((a ->3 b) v b') = 1
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u3lemnab  652  u3lem3  751  u3lem4  758
  Copyright terms: Public domain W3C validator