QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lemc4 Unicode version
Theorem u4lemc4 704
Description: Lemma for non-tollens implication study.
Hypothesis
Ref Expression
ulemc3.1 a C b
Assertion
Ref Expression
u4lemc4 (a ->4 b) = (a' v b)
Proof of Theorem u4lemc4
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . 2 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
2 ulemc3.1 . . . . . . 7 a C b
3 comid 187 . . . . . . . 8 a C a
43comcom2 183 . . . . . . 7 a C a'
52, 4fh2r 474 . . . . . 6 ((a v a') ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
65ax-r1 35 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) = ((a v a') ^ b)
7 ancom 74 . . . . . 6 ((a v a') ^ b) = (b ^ (a v a'))
8 df-t 41 . . . . . . . . 9 1 = (a v a')
98ax-r1 35 . . . . . . . 8 (a v a') = 1
109lan 77 . . . . . . 7 (b ^ (a v a')) = (b ^ 1)
11 an1 106 . . . . . . 7 (b ^ 1) = b
1210, 11ax-r2 36 . . . . . 6 (b ^ (a v a')) = b
137, 12ax-r2 36 . . . . 5 ((a v a') ^ b) = b
146, 13ax-r2 36 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) = b
152comcom4 455 . . . . . 6 a' C b'
162comcom3 454 . . . . . 6 a' C b
1715, 16fh2r 474 . . . . 5 ((a' v b) ^ b') = ((a' ^ b') v (b ^ b'))
18 dff 101 . . . . . . . 8 0 = (b ^ b')
1918ax-r1 35 . . . . . . 7 (b ^ b') = 0
2019lor 70 . . . . . 6 ((a' ^ b') v (b ^ b')) = ((a' ^ b') v 0)
21 or0 102 . . . . . 6 ((a' ^ b') v 0) = (a' ^ b')
2220, 21ax-r2 36 . . . . 5 ((a' ^ b') v (b ^ b')) = (a' ^ b')
2317, 22ax-r2 36 . . . 4 ((a' v b) ^ b') = (a' ^ b')
2414, 232or 72 . . 3 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) = (b v (a' ^ b'))
2516, 15fh4 472 . . . 4 (b v (a' ^ b')) = ((b v a') ^ (b v b'))
26 ax-a2 31 . . . . . 6 (b v a') = (a' v b)
27 df-t 41 . . . . . . 7 1 = (b v b')
2827ax-r1 35 . . . . . 6 (b v b') = 1
2926, 282an 79 . . . . 5 ((b v a') ^ (b v b')) = ((a' v b) ^ 1)
30 an1 106 . . . . 5 ((a' v b) ^ 1) = (a' v b)
3129, 30ax-r2 36 . . . 4 ((b v a') ^ (b v b')) = (a' v b)
3225, 31ax-r2 36 . . 3 (b v (a' ^ b')) = (a' v b)
3324, 32ax-r2 36 . 2 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) = (a' v b)
341, 33ax-r2 36 1 (a ->4 b) = (a' v b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   C wc 3  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lemle1  713  u4lem2  747  u4lem3  752
  Copyright terms: Public domain W3C validator