QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lemle2 Unicode version
Theorem u4lemle2 718
Description: Non-tollens implication to l.e.
Hypothesis
Ref Expression
u4lemle2.1 (a ->4 b) = 1
Assertion
Ref Expression
u4lemle2 a =< b
Proof of Theorem u4lemle2
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . . . . . 6 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
21ax-r1 35 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) = (a ->4 b)
3 u4lemle2.1 . . . . 5 (a ->4 b) = 1
42, 3ax-r2 36 . . . 4 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) = 1
54lan 77 . . 3 (a ^ (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))) = (a ^ 1)
6 comanr1 464 . . . . . . 7 a C (a ^ b)
7 comanr1 464 . . . . . . . 8 a' C (a' ^ b)
87comcom6 459 . . . . . . 7 a C (a' ^ b)
96, 8com2or 483 . . . . . 6 a C ((a ^ b) v (a' ^ b))
109comcom 453 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C a
11 comor1 461 . . . . . . . . . 10 (a' v b) C a'
1211comcom7 460 . . . . . . . . 9 (a' v b) C a
13 comor2 462 . . . . . . . . 9 (a' v b) C b
1412, 13com2an 484 . . . . . . . 8 (a' v b) C (a ^ b)
1511, 13com2an 484 . . . . . . . 8 (a' v b) C (a' ^ b)
1614, 15com2or 483 . . . . . . 7 (a' v b) C ((a ^ b) v (a' ^ b))
1716comcom 453 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (a' v b)
18 comanr2 465 . . . . . . . . 9 b C (a ^ b)
1918comcom3 454 . . . . . . . 8 b' C (a ^ b)
20 comanr2 465 . . . . . . . . 9 b C (a' ^ b)
2120comcom3 454 . . . . . . . 8 b' C (a' ^ b)
2219, 21com2or 483 . . . . . . 7 b' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
2322comcom 453 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C b'
2417, 23com2an 484 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C ((a' v b) ^ b')
2510, 24fh2 470 . . . 4 (a ^ (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))) = ((a ^ ((a ^ b) v (a' ^ b))) v (a ^ ((a' v b) ^ b')))
266, 8fh1 469 . . . . . . 7 (a ^ ((a ^ b) v (a' ^ b))) = ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a' ^ b)))
27 anidm 111 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ a) = a
2827ran 78 . . . . . . . . . . . 12 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ b)
2928ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b) = ((a ^ a) ^ b)
30 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ (a ^ b))
3129, 30ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) = (a ^ (a ^ b))
32 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (a ^ a')
3332lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ 0) = (b ^ (a ^ a'))
34 an0 108 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ 0) = 0
35 ancom 74 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ (a ^ a')) = ((a ^ a') ^ b)
3633, 34, 353tr2 64 . . . . . . . . . . 11 0 = ((a ^ a') ^ b)
37 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b) = (a ^ (a' ^ b))
3836, 37ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 0 = (a ^ (a' ^ b))
3931, 382or 72 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v 0) = ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a' ^ b)))
4039ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a' ^ b))) = ((a ^ b) v 0)
41 or0 102 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v 0) = (a ^ b)
4240, 41ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a ^ (a ^ b)) v (a ^ (a' ^ b))) = (a ^ b)
4326, 42ax-r2 36 . . . . . 6 (a ^ ((a ^ b) v (a' ^ b))) = (a ^ b)
44 anor1 88 . . . . . . . 8 (a ^ b') = (a' v b)'
4544lan 77 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ (a ^ b')) = ((a' v b) ^ (a' v b)')
46 an12 81 . . . . . . 7 (a ^ ((a' v b) ^ b')) = ((a' v b) ^ (a ^ b'))
47 dff 101 . . . . . . 7 0 = ((a' v b) ^ (a' v b)')
4845, 46, 473tr1 63 . . . . . 6 (a ^ ((a' v b) ^ b')) = 0
4943, 482or 72 . . . . 5 ((a ^ ((a ^ b) v (a' ^ b))) v (a ^ ((a' v b) ^ b'))) = ((a ^ b) v 0)
5049, 41ax-r2 36 . . . 4 ((a ^ ((a ^ b) v (a' ^ b))) v (a ^ ((a' v b) ^ b'))) = (a ^ b)
5125, 50ax-r2 36 . . 3 (a ^ (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))) = (a ^ b)
52 an1 106 . . 3 (a ^ 1) = a
535, 51, 523tr2 64 . 2 (a ^ b) = a
5453df2le1 135 1 a =< b
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   =< wle 2  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator