QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lemoa Unicode version
Theorem u4lemoa 623
Description: Lemma for non-tollens implication study.
Assertion
Ref Expression
u4lemoa ((a ->4 b) v a) = 1
Proof of Theorem u4lemoa
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
21ax-r5 38 . 2 ((a ->4 b) v a) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) v a)
3 ax-a3 32 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) v a) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (((a' v b) ^ b') v a))
4 comor1 461 . . . . . . . 8 (a' v b) C a'
54comcom7 460 . . . . . . 7 (a' v b) C a
6 comor2 462 . . . . . . . 8 (a' v b) C b
76comcom2 183 . . . . . . 7 (a' v b) C b'
85, 7fh4r 476 . . . . . 6 (((a' v b) ^ b') v a) = (((a' v b) v a) ^ (b' v a))
9 or32 82 . . . . . . . . 9 ((a' v b) v a) = ((a' v a) v b)
10 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 ((a' v a) v b) = (b v (a' v a))
11 df-t 41 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (a v a')
12 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . . . 14 (a v a') = (a' v a)
1311, 12ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (a' v a)
1413lor 70 . . . . . . . . . . . 12 (b v 1) = (b v (a' v a))
1514ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (b v (a' v a)) = (b v 1)
16 or1 104 . . . . . . . . . . 11 (b v 1) = 1
1715, 16ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (b v (a' v a)) = 1
1810, 17ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' v a) v b) = 1
199, 18ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' v b) v a) = 1
2019ran 78 . . . . . . 7 (((a' v b) v a) ^ (b' v a)) = (1 ^ (b' v a))
21 ancom 74 . . . . . . . 8 (1 ^ (b' v a)) = ((b' v a) ^ 1)
22 an1 106 . . . . . . . 8 ((b' v a) ^ 1) = (b' v a)
2321, 22ax-r2 36 . . . . . . 7 (1 ^ (b' v a)) = (b' v a)
2420, 23ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' v b) v a) ^ (b' v a)) = (b' v a)
258, 24ax-r2 36 . . . . 5 (((a' v b) ^ b') v a) = (b' v a)
2625lor 70 . . . 4 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (((a' v b) ^ b') v a)) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b' v a))
27 ax-a3 32 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b' v a)) = ((a ^ b) v ((a' ^ b) v (b' v a)))
28 ax-a2 31 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) v (b' v a)) = ((b' v a) v (a' ^ b))
29 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b) = (b ^ a')
30 anor1 88 . . . . . . . . . . 11 (b ^ a') = (b' v a)'
3129, 30ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b) = (b' v a)'
3231lor 70 . . . . . . . . 9 ((b' v a) v (a' ^ b)) = ((b' v a) v (b' v a)')
33 df-t 41 . . . . . . . . . 10 1 = ((b' v a) v (b' v a)')
3433ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((b' v a) v (b' v a)') = 1
3532, 34ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((b' v a) v (a' ^ b)) = 1
3628, 35ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' ^ b) v (b' v a)) = 1
3736lor 70 . . . . . 6 ((a ^ b) v ((a' ^ b) v (b' v a))) = ((a ^ b) v 1)
38 or1 104 . . . . . 6 ((a ^ b) v 1) = 1
3937, 38ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ b) v ((a' ^ b) v (b' v a))) = 1
4027, 39ax-r2 36 . . . 4 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (b' v a)) = 1
4126, 40ax-r2 36 . . 3 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (((a' v b) ^ b') v a)) = 1
423, 41ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) v a) = 1
432, 42ax-r2 36 1 ((a ->4 b) v a) = 1
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lemnana  648
  Copyright terms: Public domain W3C validator