Álgebra Y Cálculo Básicos ========================== Sage puede efectuar cómputos relacionados al algebra y cálculo básicos: por ejemplo, encontrar soluciones de ecuaciones, diferenciación, integración y transformadas de Laplace. Véa la documentación "Construcciones En Sage" para más ejemplos. Resolviendo Ecuaciones ---------------------- Resolviendo Ecuaciones De Manera Exacta ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La función ``solve`` resuelve ecuaciones. Para usarla, primero no olvides especificar algunas variables. Los argumentos de ``solve`` son una ecuación (o un sistema de ecuaciones), junto con las variables a resolver: :: sage: x = var('x') sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x) [x == -2, x == -1] Puedes resolver ecuaciones en una variable respecto de las demás: :: sage: x, b, c = var('x b c') sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x) [x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)] Puedes también resolver ecuaciones en varias variables: :: sage: x, y = var('x, y') sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y) [[x == 5, y == 1]] El siguiente ejemplo del uso de Sage para resolver un sistema de ecuaciones no-lineales fue proporcionado por Jason Grout: primero, resolvemos el sistema simbólicamente: :: sage: var('x y p q') (x, y, p, q) sage: eq1 = p+q==9 sage: eq2 = q*y+p*x==-6 sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24 sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y) [[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]] Si queremos aproximaciones numéricas de las soluciones, podemos usar lo siguiente: .. link :: sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True) sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns] [[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039], [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]] (La función ``n`` imprime una aproximación numérica, y el argumento es el número de bits de precisión.) Resolviendo Ecuaciones Numéricamente ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ A menudo, ``solve`` no podrá encontrar una solución exacta para la ecuación o ecuaciones especificadas. Cuando falla, puedes usar ``find_root`` para encontrar una solución numérica. Por ejemplo, ``solve`` no devuelve nada interesante para la siguiente ecuación:: sage: theta = var('theta') sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta) [sin(theta) == cos(theta)] Por otro lado, podemos usar ``find_root`` para encontrar una solución a la ecuación de arriba en el rango :math:`0 < \theta < \pi/2`:: sage: phi = var('phi') sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2) 0.785398163397448... Diferenciación, Integración, etc. ---------------------------------- Sage sabe cómo diferenciar e integrar muchas funciones. Por ejemplo, para diferenciar :math:`\sin(u)` con respecto a :math:`u`, haz lo siguiente: :: sage: u = var('u') sage: diff(sin(u), u) cos(u) Para calcular la cuarta derivada de :math:`\sin(x^2)`: :: sage: diff(sin(x^2), x, 4) 16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2) Para calcular las derivadas parciales de :math:`x^2+17y^2` con respecto a *x* e *y*, respectivamente: :: sage: x, y = var('x,y') sage: f = x^2 + 17*y^2 sage: f.diff(x) 2*x sage: f.diff(y) 34*y También podemos calcular integrales, tanto indefinidas como definidas. Para calcular :math:`\int x\sin(x^2)\, dx` y :math:`\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx` :: sage: integral(x*sin(x^2), x) -1/2*cos(x^2) sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1) 1/2*log(2) Para calcular la descomposición en fracciones simples de :math:`\frac{1}{x^2-1}`: :: sage: f = 1/((1+x)*(x-1)) sage: f.partial_fraction(x) -1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1) .. _section-systems: Resolviendo Ecuaciones Diferenciales ------------------------------------ Puedes usar a Sage para investigar ecuaciones diferenciales ordinarias. Para resolver la ecuación :math:`x'+x-1=0`: :: sage: t = var('t') # defina una variable t sage: x = function('x')(t) # defina x como una función de esa variable sage: DE = diff(x, t) + x - 1 sage: desolve(DE, [x,t]) (_C + e^t)*e^(-t) Esto utiliza el interfaz a Maxima de Sage [Max]_, por lo que el resultado puede diferir de otros resultados de Sage. En este caso, la salida nos dice que la solución general a la ecuación diferencial es :math:`x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)`. También puedes calcular transformadas de Laplace; la transformada de Laplace de :math:`t^2e^t -\sin(t)` se calcula como sigue: :: sage: s = var("s") sage: t = var("t") sage: f = t^2*exp(t) - sin(t) sage: f.laplace(t,s) -1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3 Veamos un ejemplo más complicado. El desplazamiento desde el punto de equilibrio de dos resortes acoplados, sujetos a una pared a la izquierda :: |------\/\/\/\/\---|masa1|----\/\/\/\/\/----|masa2| resorte1 resorte2 está modelado por el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo órden .. math:: m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0 m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0, donde :math:`m_{i}` es la masa del objeto *i*, :math:`x_{i}` es el desplazamiento desde el equilibrio de la masa *i*, y :math:`k_{i}` es la constante de elasticidad del resorte *i*. **Ejemplo:** Utiliza Sage para resolver el problema de arriba con :math:`m_{1}=2`, :math:`m_{2}=1`, :math:`k_{1}=4`, :math:`k_{2}=2`, :math:`x_{1}(0)=3`, :math:`x_{1}'(0)=0`, :math:`x_{2}(0)=3`, :math:`x_{2}'(0)=0`. Solución: Toma la transformada de Laplace de la primera ecuación (con la notación :math:`x=x_{1}`, :math:`y=x_{2}`): :: sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)") sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1 2*((-%at('diff(x(t),t,1),t=0))+s^2*'laplace(x(t),t,s)-x(0)*s)-2*'laplace(y(t),t,s)+6*'laplace(x(t),t,s) El resultado puede ser difícil de leer, pero significa que .. math:: -2x'(0) + 2s^2*X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0 (donde la transformada de Laplace de una función en letra minúscula como :math:`x(t)` es la función en letra mayúscula :math:`X(s)`). Toma la transformada de Laplace de la segunda ecuación: :: sage: de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)") sage: lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2 (-%at('diff(y(t),t,1),t=0))+s^2*'laplace(y(t),t,s)+2*'laplace(y(t),t,s)-2*'laplace(x(t),t,s)-y(0)*s Esto dice .. math:: -Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0. Introduce las condiciones iniciales para :math:`x(0)`, :math:`x'(0)`, :math:`y(0)` y :math:`y'(0)` y resuelve las dos ecuaciones resultantes: :: sage: var('s X Y') (s, X, Y) sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s] sage: solve(eqns, X,Y) [[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4), Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]] Ahora toma la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta: :: sage: var('s t') (s, t) sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t) cos(2*t) + 2*cos(t) sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t) -cos(2*t) + 4*cos(t) Por tanto, la solución es .. math:: x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t). La solución puede dibujarse paramétricamente usando :: sage: t = var('t') sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),\ ....: (0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9)) sage: show(P) Los componentes individuales pueden dibujarse usando :: sage: t = var('t') sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.3)) sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.6)) sage: show(p1 + p2) REFERENCIAS: Nagle, Saff, Snider, Fundamentos De Ecuaciones Diferenciales, 6a ed, Addison-Wesley, 2004. (véase § 5.5). Método De Euler Para Sistemas De Ecuaciones Diferenciales --------------------------------------------------------- En el siguiente ejemplo, ilustraremos el método de Euler para EDOs de primer y segundo órden. Primero, recordemos la idea básica para ecuaciones de primer órden. Dado un problema con valor inicial de la forma .. math:: y'=f(x,y) y(a)=c queremos encontrar el valor aproximado de la solución en :math:`x=b` con :math:`b>a`. Recuerda de la definición de derivada que .. math:: y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}, donde :math:`h>0` está dado y es pequeño. Esto, junto con la ED, dan :math:`f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}`. Ahora resuelve para :math:`y(x+h)`: .. math:: y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)). Si llamamos a :math:`h f(x,y(x))` el "término de corrección" (a falta de algo mejor), llamamos a :math:`y(x)` "el valor viejo de *y*", y llamamos a :math:`y(x+h)` el "nuevo valor de *y*", entonces, esta aproximación puede re-expresarse como .. math:: y_{nuevo} \approx y_{viejo} + h*f(x,y_{viejo}). Si descomponemos el intervalo desde *a* a *b* en *n* pasos, de modo que :math:`h=\frac{b-a}{n}`, podemos guardar la información dada por este método en una tabla. ============== ================== ================ :math:`x` :math:`y` :math:`hf(x,y)` ============== ================== ================ :math:`a` :math:`c` :math:`hf(a,c)` :math:`a+h` :math:`c+hf(a,c)` ... :math:`a+2h` ... ... :math:`b=a+nh` ??? ... ============== ================== ================ La meta es llenar todos los espacios de la tabla, una fila cada la vez, hasta que lleguemos a la casilla ???, que será la aproximación del método de Euler para :math:`y(b)`. La idea para los sistemas de EDOs es similar. **Ejemplo:** Aproxima numéricamente :math:`z(t)` en :math:`t=1` usando 4 pasos del método de Euler, donde :math:`z''+tz'+z=0`, :math:`z(0)=1`, :math:`z'(0)=0`. Debemos reducir la EDO de segundo órden a un sistema de dos EDs de primer órden (usando :math:`x=z`, :math:`y=z'`) y aplicar el método de Euler: :: sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens() sage: f = y; g = -x - y * t sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1) t x h*f(t,x,y) y h*g(t,x,y) 0 1 0.00 0 -0.25 1/4 1.0 -0.062 -0.25 -0.23 1/2 0.94 -0.12 -0.48 -0.17 3/4 0.82 -0.16 -0.66 -0.081 1 0.65 -0.18 -0.74 0.022 Por tanto, :math:`z(1)\approx 0.75`. También podemos dibujar los puntos :math:`(x,y)` para obtener una representación aproximada de la curva. La función que hace esto es ``eulers_method_2x2_plot``. Para poder usarla, necesitamos definir las funciones *f* y *g* que toman un argumento con tres coordenadas: (*t*, *x*,*y*). :: sage: f = lambda z: z[2] # f(t,x,y) = y sage: g = lambda z: -sin(z[1]) # g(t,x,y) = -sin(x) sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0) A estas alturas, ``P`` está guardando dos gráficas: ``P[0]``, el gráfico de *x* vs. *t*, y ``P[1]``, el gráfico de *y* vs. *t*. Podemos mostrar ámbas como sigue: .. link :: sage: show(P[0] + P[1]) Funciones Especiales -------------------- Se han implementado varios polinomios ortogonales y funciones especiales, utilizando tanto PARI [GAP]_ como Maxima [Max]_. Estas funciones están documentadas en las secciones apropiadas ("Polinomios Ortogonales" y "Funciones Especiales", respectivamente) del manual de referencia de Sage. :: sage: x = polygen(QQ, 'x') sage: chebyshev_U(2,x) 4*x^2 - 1 sage: bessel_I(1,1).n(250) 0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096 sage: bessel_I(1,1).n() 0.565159103992485 sage: bessel_I(2,1.1).n() # los últimos digitos son al azar 0.16708949925104... Hasta este punto, Sage únicamente ha encapsulado estas funciones para uso numérico. Para uso simbólico, por favor utiliza directamente la interfaz a Maxima, como en el siguiente ejemplo: :: sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)") 'bessel_y(v,w)' sage: maxima.eval("diff(f,w)") '(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2' .. [GAP] El Grupo GAP, ``GAP - Grupos, Algorítmos y Programación``, http://www.gap-system.org .. [Max] Maxima, http://maxima.sf.net/