Theory "numeral"

Parents arithmetic

Signature

Constant	Type
exactlog	:num -> num
iBIT_cases	:num -> α -> (num -> α) -> (num -> α) -> α
iDUB	:num -> num
iSQR	:num -> num
iSUB	:bool -> num -> num -> num
iZ	:num -> num
iiSUC	:num -> num
internal_mult	:num -> num -> num
onecount	:num -> num -> num
texp_help	:num -> num -> num

Definitions

iZ

⊢ ∀x. numeral$iZ x = x

iiSUC

⊢ ∀n. numeral$iiSUC n = SUC (SUC n)

iBIT_cases

⊢ (∀zf bf1 bf2. iBIT_cases ZERO zf bf1 bf2 = zf) ∧
  (∀n zf bf1 bf2. iBIT_cases (BIT1 n) zf bf1 bf2 = bf1 n) ∧
  ∀n zf bf1 bf2. iBIT_cases (BIT2 n) zf bf1 bf2 = bf2 n

iDUB

⊢ ∀x. numeral$iDUB x = x + x

iSUB_DEF

⊢ (∀b x. numeral$iSUB b ZERO x = ZERO) ∧
  (∀b n x.
       numeral$iSUB b (BIT1 n) x =
       if b then
         iBIT_cases x (BIT1 n) (λm. numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m))
           (λm. BIT1 (numeral$iSUB F n m))
       else
         iBIT_cases x (numeral$iDUB n) (λm. BIT1 (numeral$iSUB F n m))
           (λm. numeral$iDUB (numeral$iSUB F n m))) ∧
  ∀b n x.
      numeral$iSUB b (BIT2 n) x =
      if b then
        iBIT_cases x (BIT2 n) (λm. BIT1 (numeral$iSUB T n m))
          (λm. numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m))
      else
        iBIT_cases x (BIT1 n) (λm. numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m))
          (λm. BIT1 (numeral$iSUB F n m))

iSQR

⊢ ∀x. numeral$iSQR x = x * x

texp_help_def

⊢ (∀acc. numeral$texp_help 0 acc = BIT2 acc) ∧
  ∀n acc. numeral$texp_help (SUC n) acc = numeral$texp_help n (BIT1 acc)

onecount_def

⊢ (∀x. numeral$onecount ZERO x = x) ∧
  (∀n x. numeral$onecount (BIT1 n) x = numeral$onecount n (SUC x)) ∧
  ∀n x. numeral$onecount (BIT2 n) x = ZERO

exactlog_def

⊢ numeral$exactlog ZERO = ZERO ∧ (∀n. numeral$exactlog (BIT1 n) = ZERO) ∧
  ∀n.
      numeral$exactlog (BIT2 n) =
      (let x = numeral$onecount n ZERO in if x = ZERO then ZERO else BIT1 x)

internal_mult_def

⊢ internal_mult = $*

Theorems

numeral_suc

⊢ SUC ZERO = BIT1 ZERO ∧ (∀n. SUC (BIT1 n) = BIT2 n) ∧
  ∀n. SUC (BIT2 n) = BIT1 (SUC n)

numeral_distrib

⊢ (∀n. 0 + n = n) ∧ (∀n. n + 0 = n) ∧
  (∀n m. NUMERAL n + NUMERAL m = NUMERAL (numeral$iZ (n + m))) ∧
  (∀n. 0 * n = 0) ∧ (∀n. n * 0 = 0) ∧
  (∀n m. NUMERAL n * NUMERAL m = NUMERAL (n * m)) ∧ (∀n. 0 − n = 0) ∧
  (∀n. n − 0 = n) ∧ (∀n m. NUMERAL n − NUMERAL m = NUMERAL (n − m)) ∧
  (∀n. 0 ** NUMERAL (BIT1 n) = 0) ∧ (∀n. 0 ** NUMERAL (BIT2 n) = 0) ∧
  (∀n. n ** 0 = 1) ∧ (∀n m. NUMERAL n ** NUMERAL m = NUMERAL (n ** m)) ∧
  SUC 0 = 1 ∧ (∀n. SUC (NUMERAL n) = NUMERAL (SUC n)) ∧ PRE 0 = 0 ∧
  (∀n. PRE (NUMERAL n) = NUMERAL (PRE n)) ∧ (∀n. NUMERAL n = 0 ⇔ n = ZERO) ∧
  (∀n. 0 = NUMERAL n ⇔ n = ZERO) ∧ (∀n m. NUMERAL n = NUMERAL m ⇔ n = m) ∧
  (∀n. n < 0 ⇔ F) ∧ (∀n. 0 < NUMERAL n ⇔ ZERO < n) ∧
  (∀n m. NUMERAL n < NUMERAL m ⇔ n < m) ∧ (∀n. 0 > n ⇔ F) ∧
  (∀n. NUMERAL n > 0 ⇔ ZERO < n) ∧ (∀n m. NUMERAL n > NUMERAL m ⇔ m < n) ∧
  (∀n. 0 ≤ n ⇔ T) ∧ (∀n. NUMERAL n ≤ 0 ⇔ n ≤ ZERO) ∧
  (∀n m. NUMERAL n ≤ NUMERAL m ⇔ n ≤ m) ∧ (∀n. n ≥ 0 ⇔ T) ∧
  (∀n. 0 ≥ n ⇔ n = 0) ∧ (∀n m. NUMERAL n ≥ NUMERAL m ⇔ m ≤ n) ∧
  (∀n. ODD (NUMERAL n) ⇔ ODD n) ∧ (∀n. EVEN (NUMERAL n) ⇔ EVEN n) ∧ ¬ODD 0 ∧
  EVEN 0

numeral_iisuc

⊢ numeral$iiSUC ZERO = BIT2 ZERO ∧ numeral$iiSUC (BIT1 n) = BIT1 (SUC n) ∧
  numeral$iiSUC (BIT2 n) = BIT2 (SUC n)

numeral_add

⊢ ∀n m.
      numeral$iZ (ZERO + n) = n ∧ numeral$iZ (n + ZERO) = n ∧
      numeral$iZ (BIT1 n + BIT1 m) = BIT2 (numeral$iZ (n + m)) ∧
      numeral$iZ (BIT1 n + BIT2 m) = BIT1 (SUC (n + m)) ∧
      numeral$iZ (BIT2 n + BIT1 m) = BIT1 (SUC (n + m)) ∧
      numeral$iZ (BIT2 n + BIT2 m) = BIT2 (SUC (n + m)) ∧
      SUC (ZERO + n) = SUC n ∧ SUC (n + ZERO) = SUC n ∧
      SUC (BIT1 n + BIT1 m) = BIT1 (SUC (n + m)) ∧
      SUC (BIT1 n + BIT2 m) = BIT2 (SUC (n + m)) ∧
      SUC (BIT2 n + BIT1 m) = BIT2 (SUC (n + m)) ∧
      SUC (BIT2 n + BIT2 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m)) ∧
      numeral$iiSUC (ZERO + n) = numeral$iiSUC n ∧
      numeral$iiSUC (n + ZERO) = numeral$iiSUC n ∧
      numeral$iiSUC (BIT1 n + BIT1 m) = BIT2 (SUC (n + m)) ∧
      numeral$iiSUC (BIT1 n + BIT2 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m)) ∧
      numeral$iiSUC (BIT2 n + BIT1 m) = BIT1 (numeral$iiSUC (n + m)) ∧
      numeral$iiSUC (BIT2 n + BIT2 m) = BIT2 (numeral$iiSUC (n + m))

numeral_eq

⊢ ∀n m.
      (ZERO = BIT1 n ⇔ F) ∧ (BIT1 n = ZERO ⇔ F) ∧ (ZERO = BIT2 n ⇔ F) ∧
      (BIT2 n = ZERO ⇔ F) ∧ (BIT1 n = BIT2 m ⇔ F) ∧ (BIT2 n = BIT1 m ⇔ F) ∧
      (BIT1 n = BIT1 m ⇔ n = m) ∧ (BIT2 n = BIT2 m ⇔ n = m)

numeral_lt

⊢ ∀n m.
      (ZERO < BIT1 n ⇔ T) ∧ (ZERO < BIT2 n ⇔ T) ∧ (n < ZERO ⇔ F) ∧
      (BIT1 n < BIT1 m ⇔ n < m) ∧ (BIT2 n < BIT2 m ⇔ n < m) ∧
      (BIT1 n < BIT2 m ⇔ ¬(m < n)) ∧ (BIT2 n < BIT1 m ⇔ n < m)

numeral_lte

⊢ ∀n m.
      (ZERO ≤ n ⇔ T) ∧ (BIT1 n ≤ ZERO ⇔ F) ∧ (BIT2 n ≤ ZERO ⇔ F) ∧
      (BIT1 n ≤ BIT1 m ⇔ n ≤ m) ∧ (BIT1 n ≤ BIT2 m ⇔ n ≤ m) ∧
      (BIT2 n ≤ BIT1 m ⇔ ¬(m ≤ n)) ∧ (BIT2 n ≤ BIT2 m ⇔ n ≤ m)

numeral_pre

⊢ PRE ZERO = ZERO ∧ PRE (BIT1 ZERO) = ZERO ∧
  (∀n. PRE (BIT1 (BIT1 n)) = BIT2 (PRE (BIT1 n))) ∧
  (∀n. PRE (BIT1 (BIT2 n)) = BIT2 (BIT1 n)) ∧ ∀n. PRE (BIT2 n) = BIT1 n

bit_initiality

⊢ ∀zf b1f b2f.
      ∃f.
          f ZERO = zf ∧ (∀n. f (BIT1 n) = b1f n (f n)) ∧
          ∀n. f (BIT2 n) = b2f n (f n)

bit_induction

⊢ ∀P. P ZERO ∧ (∀n. P n ⇒ P (BIT1 n)) ∧ (∀n. P n ⇒ P (BIT2 n)) ⇒ ∀n. P n

iSUB_THM

⊢ ∀b n m.
      numeral$iSUB b ZERO x = ZERO ∧ numeral$iSUB T n ZERO = n ∧
      numeral$iSUB F (BIT1 n) ZERO = numeral$iDUB n ∧
      numeral$iSUB T (BIT1 n) (BIT1 m) = numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m) ∧
      numeral$iSUB F (BIT1 n) (BIT1 m) = BIT1 (numeral$iSUB F n m) ∧
      numeral$iSUB T (BIT1 n) (BIT2 m) = BIT1 (numeral$iSUB F n m) ∧
      numeral$iSUB F (BIT1 n) (BIT2 m) = numeral$iDUB (numeral$iSUB F n m) ∧
      numeral$iSUB F (BIT2 n) ZERO = BIT1 n ∧
      numeral$iSUB T (BIT2 n) (BIT1 m) = BIT1 (numeral$iSUB T n m) ∧
      numeral$iSUB F (BIT2 n) (BIT1 m) = numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m) ∧
      numeral$iSUB T (BIT2 n) (BIT2 m) = numeral$iDUB (numeral$iSUB T n m) ∧
      numeral$iSUB F (BIT2 n) (BIT2 m) = BIT1 (numeral$iSUB F n m)

numeral_sub

⊢ ∀n m. NUMERAL (n − m) = if m < n then NUMERAL (numeral$iSUB T n m) else 0

iDUB_removal

⊢ ∀n.
      numeral$iDUB (BIT1 n) = BIT2 (numeral$iDUB n) ∧
      numeral$iDUB (BIT2 n) = BIT2 (BIT1 n) ∧ numeral$iDUB ZERO = ZERO

numeral_mult

⊢ ∀n m.
      ZERO * n = ZERO ∧ n * ZERO = ZERO ∧
      BIT1 n * m = numeral$iZ (numeral$iDUB (n * m) + m) ∧
      BIT2 n * m = numeral$iDUB (numeral$iZ (n * m + m))

numeral_exp

⊢ (∀n. n ** ZERO = BIT1 ZERO) ∧
  (∀n m. n ** BIT1 m = n * numeral$iSQR (n ** m)) ∧
  ∀n m. n ** BIT2 m = numeral$iSQR n * numeral$iSQR (n ** m)

numeral_evenodd

⊢ ∀n.
      EVEN ZERO ∧ EVEN (BIT2 n) ∧ ¬EVEN (BIT1 n) ∧ ¬ODD ZERO ∧ ¬ODD (BIT2 n) ∧
      ODD (BIT1 n)

numeral_fact

⊢ FACT 0 = 1 ∧
  (∀n.
       FACT (NUMERAL (BIT1 n)) =
       NUMERAL (BIT1 n) * FACT (PRE (NUMERAL (BIT1 n)))) ∧
  ∀n. FACT (NUMERAL (BIT2 n)) = NUMERAL (BIT2 n) * FACT (NUMERAL (BIT1 n))

numeral_funpow

⊢ FUNPOW f 0 x = x ∧
  FUNPOW f (NUMERAL (BIT1 n)) x = FUNPOW f (PRE (NUMERAL (BIT1 n))) (f x) ∧
  FUNPOW f (NUMERAL (BIT2 n)) x = FUNPOW f (NUMERAL (BIT1 n)) (f x)

numeral_MIN

⊢ MIN 0 x = 0 ∧ MIN x 0 = 0 ∧
  MIN (NUMERAL x) (NUMERAL y) = NUMERAL (if x < y then x else y)

numeral_MAX

⊢ MAX 0 x = x ∧ MAX x 0 = x ∧
  MAX (NUMERAL x) (NUMERAL y) = NUMERAL (if x < y then y else x)

divmod_POS

⊢ ∀n.
      0 < n ⇒
      DIVMOD (a,m,n) = if m < n then (a,m)
      else (let q = findq (1,m,n) in DIVMOD (a + q,m − n * q,n))

DIVMOD_NUMERAL_CALC

⊢ (∀m n. m DIV BIT1 n = FST (DIVMOD (ZERO,m,BIT1 n))) ∧
  (∀m n. m DIV BIT2 n = FST (DIVMOD (ZERO,m,BIT2 n))) ∧
  (∀m n. m MOD BIT1 n = SND (DIVMOD (ZERO,m,BIT1 n))) ∧
  ∀m n. m MOD BIT2 n = SND (DIVMOD (ZERO,m,BIT2 n))

numeral_div2

⊢ DIV2 0 = 0 ∧ (∀n. DIV2 (NUMERAL (BIT1 n)) = NUMERAL n) ∧
  ∀n. DIV2 (NUMERAL (BIT2 n)) = NUMERAL (SUC n)

texp_help_thm

⊢ ∀n a. numeral$texp_help n a = (a + 1) * 2 ** (n + 1)

texp_help0

⊢ numeral$texp_help n 0 = 2 ** (n + 1)

numeral_texp_help

⊢ numeral$texp_help ZERO acc = BIT2 acc ∧
  numeral$texp_help (BIT1 n) acc = numeral$texp_help (PRE (BIT1 n)) (BIT1 acc) ∧
  numeral$texp_help (BIT2 n) acc = numeral$texp_help (BIT1 n) (BIT1 acc)

TWO_EXP_THM

⊢ 2 ** 0 = 1 ∧
  2 ** NUMERAL (BIT1 n) = NUMERAL (numeral$texp_help (PRE (BIT1 n)) ZERO) ∧
  2 ** NUMERAL (BIT2 n) = NUMERAL (numeral$texp_help (BIT1 n) ZERO)

onecount_characterisation

⊢ ∀n a.
      0 < numeral$onecount n a ∧ 0 < n ⇒
      n = 2 ** (numeral$onecount n a − a) − 1

exactlog_characterisation

⊢ ∀n m. numeral$exactlog n = BIT1 m ⇒ n = 2 ** (m + 1)

DIV2_BIT1

⊢ DIV2 (BIT1 x) = x

enumeral_mult

⊢ ZERO * n = ZERO ∧ n * ZERO = ZERO ∧
  BIT1 x * BIT1 y = internal_mult (BIT1 x) (BIT1 y) ∧
  BIT1 x * BIT2 y =
  (let
     n = numeral$exactlog (BIT2 y)
   in
     if ODD n then numeral$texp_help (DIV2 n) (PRE (BIT1 x))
     else internal_mult (BIT1 x) (BIT2 y)) ∧
  BIT2 x * BIT1 y =
  (let
     m = numeral$exactlog (BIT2 x)
   in
     if ODD m then numeral$texp_help (DIV2 m) (PRE (BIT1 y))
     else internal_mult (BIT2 x) (BIT1 y)) ∧
  BIT2 x * BIT2 y =
  (let
     m = numeral$exactlog (BIT2 x) ;
     n = numeral$exactlog (BIT2 y)
   in
     if ODD m then numeral$texp_help (DIV2 m) (PRE (BIT2 y))
     else if ODD n then numeral$texp_help (DIV2 n) (PRE (BIT2 x))
     else internal_mult (BIT2 x) (BIT2 y))

internal_mult_characterisation

⊢ ∀n m.
      internal_mult ZERO n = ZERO ∧ internal_mult n ZERO = ZERO ∧
      internal_mult (BIT1 n) m =
      numeral$iZ (numeral$iDUB (internal_mult n m) + m) ∧
      internal_mult (BIT2 n) m =
      numeral$iDUB (numeral$iZ (internal_mult n m + m))