Theorem eupickb 2022

Description: Existential uniqueness "pick" showing wff equivalence. (Contributed by NM, 25-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eupickb	⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Proof of Theorem eupickb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupick 2020	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 → 𝜓))
2	1	3adant2 957	. 2 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 → 𝜓))
3		3simpc 937	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
4		pm3.22 261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜓 ∧ 𝜑))
5	4	eximi 1531	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑))
6	5	anim2i 334	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑)))
7		eupick 2020	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝜓 → 𝜑))
8	3, 6, 7	3syl 17	. 2 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜓 → 𝜑))
9	2, 8	impbid 127	1 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919  ∃wex 1421  ∃!weu 1941

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945

This theorem is referenced by: (None)