Theorem ax12el 34227

Description: Basis step for constructing a substitution instance of ax-c15 34174 without using ax-c15 34174. Atomic formula for membership predicate. (Contributed by NM, 22-Jan-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax12el	|- ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )

Proof of Theorem ax12el

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.26 1798	. . 3 |- ( A. x ( x = z /\ x = w ) <-> ( A. x x = z /\ A. x x = w ) )
2		elequ1 1997	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
3		elequ2 2004	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
4	2, 3	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ x = y ) -> ( x e. x <-> y e. y ) )
6		ax-5 1839	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. v -> A. x v e. v )
7		ax-5 1839	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. y -> A. v y e. y )
8		elequ1 1997	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = y -> ( v e. v <-> y e. v ) )
9		elequ2 2004	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = y -> ( y e. v <-> y e. y ) )
10	8, 9	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( v = y -> ( v e. v <-> y e. y ) )
11	6, 7, 10	dvelimf-o 34214	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> ( y e. y -> A. x y e. y ) )
12	4	biimprcd 240	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. y -> ( x = y -> x e. x ) )
13	12	alimi 1739	. . . . . . . . 9 |- ( A. x y e. y -> A. x ( x = y -> x e. x ) )
14	11, 13	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> ( y e. y -> A. x ( x = y -> x e. x ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ x = y ) -> ( y e. y -> A. x ( x = y -> x e. x ) ) )
16	5, 15	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ x = y ) -> ( x e. x -> A. x ( x = y -> x e. x ) ) )
17	16	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A. x ( x = z /\ x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( x e. x -> A. x ( x = y -> x e. x ) ) )
18		elequ1 1997	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x e. x <-> z e. x ) )
19		elequ2 2004	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z e. x <-> z e. w ) )
20	18, 19	sylan9bb 736	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ x = w ) -> ( x e. x <-> z e. w ) )
21	20	sps-o 34193	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x = z /\ x = w ) -> ( x e. x <-> z e. w ) )
22		nfa1-o 34200	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x ( x = z /\ x = w )
23	21	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x = z /\ x = w ) -> ( ( x = y -> x e. x ) <-> ( x = y -> z e. w ) ) )
24	22, 23	albid 2090	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x = z /\ x = w ) -> ( A. x ( x = y -> x e. x ) <-> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
25	21, 24	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( A. x ( x = z /\ x = w ) -> ( ( x e. x -> A. x ( x = y -> x e. x ) ) <-> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
26	25	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A. x ( x = z /\ x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( ( x e. x -> A. x ( x = y -> x e. x ) ) <-> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
27	17, 26	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( A. x ( x = z /\ x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
28	27	exp32 631	. . 3 |- ( A. x ( x = z /\ x = w ) -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) ) )
29	1, 28	sylbir 225	. 2 |- ( ( A. x x = z /\ A. x x = w ) -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) ) )
30		elequ1 1997	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. w <-> y e. w ) )
31	30	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = w /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( x e. w <-> y e. w ) )
32		ax-c14 34176	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = w -> ( y e. w -> A. x y e. w ) ) )
33	32	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = w /\ -. A. x x = y ) -> ( y e. w -> A. x y e. w ) )
34	33	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = w /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( y e. w -> A. x y e. w ) )
35	30	biimprcd 240	. . . . . . . 8 |- ( y e. w -> ( x = y -> x e. w ) )
36	35	alimi 1739	. . . . . . 7 |- ( A. x y e. w -> A. x ( x = y -> x e. w ) )
37	34, 36	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = w /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( y e. w -> A. x ( x = y -> x e. w ) ) )
38	31, 37	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = w /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( x e. w -> A. x ( x = y -> x e. w ) ) )
39	38	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( x e. w -> A. x ( x = y -> x e. w ) ) )
40		elequ1 1997	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x e. w <-> z e. w ) )
41	40	sps-o 34193	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( x e. w <-> z e. w ) )
42	41	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( A. x x = z -> ( ( x = y -> x e. w ) <-> ( x = y -> z e. w ) ) )
43	42	dral2-o 34215	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( A. x ( x = y -> x e. w ) <-> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
44	41, 43	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( ( x e. w -> A. x ( x = y -> x e. w ) ) <-> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
45	44	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( ( x e. w -> A. x ( x = y -> x e. w ) ) <-> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
46	39, 45	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
47	46	exp32 631	. 2 |- ( ( A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) ) )
48		elequ2 2004	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( z e. x <-> z e. y ) )
49	48	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = z /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( z e. x <-> z e. y ) )
50		ax-c14 34176	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = z -> ( -. A. x x = y -> ( z e. y -> A. x z e. y ) ) )
51	50	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = y ) -> ( z e. y -> A. x z e. y ) )
52	51	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = z /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( z e. y -> A. x z e. y ) )
53	48	biimprcd 240	. . . . . . . 8 |- ( z e. y -> ( x = y -> z e. x ) )
54	53	alimi 1739	. . . . . . 7 |- ( A. x z e. y -> A. x ( x = y -> z e. x ) )
55	52, 54	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = z /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( z e. y -> A. x ( x = y -> z e. x ) ) )
56	49, 55	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = z /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( z e. x -> A. x ( x = y -> z e. x ) ) )
57	56	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ A. x x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( z e. x -> A. x ( x = y -> z e. x ) ) )
58	19	sps-o 34193	. . . . . 6 |- ( A. x x = w -> ( z e. x <-> z e. w ) )
59	58	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( A. x x = w -> ( ( x = y -> z e. x ) <-> ( x = y -> z e. w ) ) )
60	59	dral2-o 34215	. . . . . 6 |- ( A. x x = w -> ( A. x ( x = y -> z e. x ) <-> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
61	58, 60	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( A. x x = w -> ( ( z e. x -> A. x ( x = y -> z e. x ) ) <-> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
62	61	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ A. x x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( ( z e. x -> A. x ( x = y -> z e. x ) ) <-> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
63	57, 62	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ A. x x = w ) /\ ( -. A. x x = y /\ x = y ) ) -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
64	63	exp32 631	. 2 |- ( ( -. A. x x = z /\ A. x x = w ) -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) ) )
65		ax6ev 1890	. . . . 5 |- E. u u = w
66		ax6ev 1890	. . . . . . 7 |- E. v v = z
67		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. u -> ( x = y -> v e. u ) )
68	67	alrimiv 1855	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. u -> A. x ( x = y -> v e. u ) )
69		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = z -> ( v e. u <-> z e. u ) )
70		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( z e. u <-> z e. w ) )
71	69, 70	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = z /\ u = w ) -> ( v e. u <-> z e. w ) )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( v = z /\ u = w ) ) -> ( v e. u <-> z e. w ) )
73		dveeq2-o 34218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = z -> ( v = z -> A. x v = z ) )
74		dveeq2-o 34218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = w -> ( u = w -> A. x u = w ) )
75	73, 74	im2anan9 880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( ( v = z /\ u = w ) -> ( A. x v = z /\ A. x u = w ) ) )
76	75	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( v = z /\ u = w ) ) -> ( A. x v = z /\ A. x u = w ) )
77		19.26 1798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x ( v = z /\ u = w ) <-> ( A. x v = z /\ A. x u = w ) )
78	76, 77	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( v = z /\ u = w ) ) -> A. x ( v = z /\ u = w ) )
79		nfa1-o 34200	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x A. x ( v = z /\ u = w )
80	71	sps-o 34193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x ( v = z /\ u = w ) -> ( v e. u <-> z e. w ) )
81	80	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x ( v = z /\ u = w ) -> ( ( x = y -> v e. u ) <-> ( x = y -> z e. w ) ) )
82	79, 81	albid 2090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x ( v = z /\ u = w ) -> ( A. x ( x = y -> v e. u ) <-> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
83	78, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( v = z /\ u = w ) ) -> ( A. x ( x = y -> v e. u ) <-> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
84	72, 83	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( v = z /\ u = w ) ) -> ( ( v e. u -> A. x ( x = y -> v e. u ) ) <-> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
85	68, 84	mpbii 223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) /\ ( v = z /\ u = w ) ) -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
86	85	exp32 631	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( v = z -> ( u = w -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) ) )
87	86	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( E. v v = z -> ( u = w -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) ) )
88	66, 87	mpi 20	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( u = w -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
89	88	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( E. u u = w -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
90	65, 89	mpi 20	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) )
91	90	a1d 25	. . 3 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( x = y -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )
92	91	a1d 25	. 2 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. x x = w ) -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) ) )
93	29, 47, 64, 92	4cases 990	1 |- ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( z e. w -> A. x ( x = y -> z e. w ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-c5 34168  ax-c4 34169  ax-c7 34170  ax-c10 34171  ax-c11 34172  ax-c9 34175  ax-c14 34176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by: (None)