Theorem bj-cbv3ta 32710

Description: Closed form of cbv3 2265. (Contributed by BJ, 2-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-cbv3ta	|- ( A. x A. y ( x = y -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( A. y ( E. x ps -> ps ) /\ A. x ( ph -> A. y ph ) ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) )

Proof of Theorem bj-cbv3ta

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-spimt2 32709	. . . . . 6 |- ( A. x ( x = y -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( E. x ps -> ps ) -> ( A. x ph -> ps ) ) )
2	1	imp 445	. . . . 5 |- ( ( A. x ( x = y -> ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x ps -> ps ) ) -> ( A. x ph -> ps ) )
3	2	alanimi 1744	. . . 4 |- ( ( A. y A. x ( x = y -> ( ph -> ps ) ) /\ A. y ( E. x ps -> ps ) ) -> A. y ( A. x ph -> ps ) )
4		bj-hbalt 32671	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( A. x ph -> A. y A. x ph ) )
5		sylgt 1749	. . . 4 |- ( A. y ( A. x ph -> ps ) -> ( ( A. x ph -> A. y A. x ph ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) )
6	3, 4, 5	syl2im 40	. . 3 |- ( ( A. y A. x ( x = y -> ( ph -> ps ) ) /\ A. y ( E. x ps -> ps ) ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) )
7	6	expimpd 629	. 2 |- ( A. y A. x ( x = y -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( A. y ( E. x ps -> ps ) /\ A. x ( ph -> A. y ph ) ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) )
8	7	alcoms 2035	1 |- ( A. x A. y ( x = y -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( A. y ( E. x ps -> ps ) /\ A. x ( ph -> A. y ph ) ) -> ( A. x ph -> A. y ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ex 1705

This theorem is referenced by:  bj-cbv3tb  32711