Definition df-trkgc 25347

Description: Define the class of geometries fulfilling the congruence axioms of reflexivity, identity and transitivity. These are axioms A1 to A3 of [Schwabhauser] p. 10. With our distance based notation for congruence, transitivity of congruence boils down to transitivity of equality and is already given by eqtr 2641, so it is not listed in this definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
df-trkgc	|- TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }

Distinct variable group:   f, d, p, x, y, z

Detailed syntax breakdown of Definition df-trkgc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cstrkgc 25330	. 2 class TarskiGC
2		vx	. . . . . . . . . . 11 setvar x
3	2	cv 1482	. . . . . . . . . 10 class x
4		vy	. . . . . . . . . . 11 setvar y
5	4	cv 1482	. . . . . . . . . 10 class y
6		vd	. . . . . . . . . . 11 setvar d
7	6	cv 1482	. . . . . . . . . 10 class d
8	3, 5, 7	co 6650	. . . . . . . . 9 class ( x d y )
9	5, 3, 7	co 6650	. . . . . . . . 9 class ( y d x )
10	8, 9	wceq 1483	. . . . . . . 8 wff ( x d y ) = ( y d x )
11		vp	. . . . . . . . 9 setvar p
12	11	cv 1482	. . . . . . . 8 class p
13	10, 4, 12	wral 2912	. . . . . . 7 wff A. y e. p ( x d y ) = ( y d x )
14	13, 2, 12	wral 2912	. . . . . 6 wff A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x )
15		vz	. . . . . . . . . . . . 13 setvar z
16	15	cv 1482	. . . . . . . . . . . 12 class z
17	16, 16, 7	co 6650	. . . . . . . . . . 11 class ( z d z )
18	8, 17	wceq 1483	. . . . . . . . . 10 wff ( x d y ) = ( z d z )
19	2, 4	weq 1874	. . . . . . . . . 10 wff x = y
20	18, 19	wi 4	. . . . . . . . 9 wff ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
21	20, 15, 12	wral 2912	. . . . . . . 8 wff A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
22	21, 4, 12	wral 2912	. . . . . . 7 wff A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
23	22, 2, 12	wral 2912	. . . . . 6 wff A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y )
24	14, 23	wa 384	. . . . 5 wff ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
25		vf	. . . . . . 7 setvar f
26	25	cv 1482	. . . . . 6 class f
27		cds 15950	. . . . . 6 class dist
28	26, 27	cfv 5888	. . . . 5 class ( dist ` f )
29	24, 6, 28	wsbc 3435	. . . 4 wff [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
30		cbs 15857	. . . . 5 class Base
31	26, 30	cfv 5888	. . . 4 class ( Base ` f )
32	29, 11, 31	wsbc 3435	. . 3 wff [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) )
33	32, 25	cab 2608	. 2 class { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }
34	1, 33	wceq 1483	1 wff TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }

This definition is referenced by:  istrkgc  25353