Theorem istrkgc 25353

Description: Property of being a Tarski geometry - congruence part. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	|- P = ( Base ` G )
istrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
istrkg.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
istrkgc	|- ( G e. TarskiGC <-> ( G e. _V /\ ( A. x e. P A. y e. P ( x .- y ) = ( y .- x ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( ( x .- y ) = ( z .- z ) -> x = y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, I   x, P, y, z   x, .- , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem istrkgc

Dummy variables f d p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istrkg.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
2		istrkg.d	. . 3 |- .- = ( dist ` G )
3		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( p = P /\ d = .- ) -> p = P )
4	3	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( p = P /\ d = .- ) -> P = p )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) -> P = p )
6		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> d = .- )
7	6	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> .- = d )
8	7	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> ( x .- y ) = ( x d y ) )
9	7	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> ( y .- x ) = ( y d x ) )
10	8, 9	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> ( ( x .- y ) = ( y .- x ) <-> ( x d y ) = ( y d x ) ) )
11	5, 10	raleqbidva 3154	. . . . 5 |- ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) -> ( A. y e. P ( x .- y ) = ( y .- x ) <-> A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) ) )
12	4, 11	raleqbidva 3154	. . . 4 |- ( ( p = P /\ d = .- ) -> ( A. x e. P A. y e. P ( x .- y ) = ( y .- x ) <-> A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) ) )
13	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> P = p )
14	7	oveqdr 6674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( x .- y ) = ( x d y ) )
15	7	oveqdr 6674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( z .- z ) = ( z d z ) )
16	14, 15	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( ( x .- y ) = ( z .- z ) <-> ( x d y ) = ( z d z ) ) )
17	16	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ z e. P ) -> ( ( ( x .- y ) = ( z .- z ) -> x = y ) <-> ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) )
18	13, 17	raleqbidva 3154	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) -> ( A. z e. P ( ( x .- y ) = ( z .- z ) -> x = y ) <-> A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) )
19	5, 18	raleqbidva 3154	. . . . 5 |- ( ( ( p = P /\ d = .- ) /\ x e. P ) -> ( A. y e. P A. z e. P ( ( x .- y ) = ( z .- z ) -> x = y ) <-> A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) )
20	4, 19	raleqbidva 3154	. . . 4 |- ( ( p = P /\ d = .- ) -> ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( ( x .- y ) = ( z .- z ) -> x = y ) <-> A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) )
21	12, 20	anbi12d 747	. . 3 |- ( ( p = P /\ d = .- ) -> ( ( A. x e. P A. y e. P ( x .- y ) = ( y .- x ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( ( x .- y ) = ( z .- z ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) ) )
22	1, 2, 21	sbcie2s 15916	. 2 |- ( f = G -> ( [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. P A. y e. P ( x .- y ) = ( y .- x ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( ( x .- y ) = ( z .- z ) -> x = y ) ) ) )
23		df-trkgc 25347	. 2 |- TarskiGC = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. ( A. x e. p A. y e. p ( x d y ) = ( y d x ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p ( ( x d y ) = ( z d z ) -> x = y ) ) }
24	22, 23	elab4g 3355	1 |- ( G e. TarskiGC <-> ( G e. _V /\ ( A. x e. P A. y e. P ( x .- y ) = ( y .- x ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P ( ( x .- y ) = ( z .- z ) -> x = y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiG_Ccstrkgc 25330  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trkgc 25347

This theorem is referenced by:  axtgcgrrflx  25361  axtgcgrid  25362  f1otrg  25751  xmstrkgc  25766  eengtrkg  25865