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Theorem merlem5 1571
Description: Step 11 of Meredith's proof of Lukasiewicz axioms from his sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
merlem5 |- ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) )
Proof of Theorem merlem5
StepHypRef Expression
1 meredith 1566 . 2 |- ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) )
2 meredith 1566 . . 3 |- ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) )
3 merlem1 1567 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) )
4 merlem4 1570 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) )
6 meredith 1566 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) -> ( -. ph -> -. ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) ) ) -> ph ) -> ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3 |- ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. -. -. ph ) ) -> ps ) -> ph ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) ) )
82, 7ax-mp 5 . 2 |- ( ( ( ( ( ( ps -> ps ) -> ( -. ps -> -. ps ) ) -> ps ) -> ps ) -> ( ( ps -> ps ) -> ( ps -> ps ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) ) )
91, 8ax-mp 5 1 |- ( ( ph -> ps ) -> ( -. -. ph -> ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem is referenced by:  merlem12  1578  merlem13  1579  luk-2  1581
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