Theorem r2allem 2937

Description: Lemma factoring out common proof steps of r2alf 2938 and r2al 2939. Introduced to reduce dependencies on axioms. (Contributed by Wolf Lammen, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
r2allem.1	|- ( A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )

Assertion

Ref	Expression
r2allem	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Proof of Theorem r2allem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2917	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
2		r2allem.1	. . . 4 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
3		impexp 462	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
4	3	albii 1747	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
5		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. y e. B ph <-> A. y ( y e. B -> ph ) )
6	5	imbi2i 326	. . . 4 |- ( ( x e. A -> A. y e. B ph ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
7	2, 4, 6	3bitr4i 292	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
8	7	albii 1747	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
9	1, 8	bitr4i 267	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ral 2917

This theorem is referenced by:  r2alf  2938  r2al  2939