Theorem rexbidar 38650

Description: More general form of rexbida 3047. (Contributed by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralbidar.1	|- ( ph -> A. x e. A ph )
ralbidar.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexbidar	|- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. A ch ) )

Proof of Theorem rexbidar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralbidar.1	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A ph )
2		ralbidar.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ps <-> ch ) )
3	2	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) )
4	3	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. x e. A ph -> A. x e. A ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) )
5	1, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) )
6		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. x e. A ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) ) )
7	5, 6	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) ) )
8		pm2.43 56	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) )
9	8	pm5.32d 671	. . . 4 |- ( ( x e. A -> ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) ) -> ( ( x e. A /\ ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) )
10	9	alimi 1739	. . 3 |- ( A. x ( x e. A -> ( x e. A -> ( ps <-> ch ) ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) )
11		exbi 1773	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ ps ) <-> E. x ( x e. A /\ ch ) ) )
12	7, 10, 11	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( E. x ( x e. A /\ ps ) <-> E. x ( x e. A /\ ch ) ) )
13		df-rex 2918	. 2 |- ( E. x e. A ps <-> E. x ( x e. A /\ ps ) )
14		df-rex 2918	. 2 |- ( E. x e. A ch <-> E. x ( x e. A /\ ch ) )
15	12, 13, 14	3bitr4g 303	1 |- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. A ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ex 1705  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by: (None)