QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  mhcor1 Unicode version
Theorem mhcor1 888
Description: Corollary of Marsden-Herman Lemma.
Assertion
Ref Expression
mhcor1 ((((a ->1 b) ^ (b ->2 c)) ^ (c ->1 d)) ^ (d ->2 a)) = (((a == b) ^ (b == c)) ^ (c == d))
Proof of Theorem mhcor1
StepHypRef Expression
1 anass 76 . . 3 ((((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ (a ->1 b)) ^ (d ->2 a)) = (((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ ((a ->1 b) ^ (d ->2 a)))
2 imp3 841 . . . 4 ((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) = ((b' ^ c') v (c ^ d))
3 ancom 74 . . . . 5 ((a ->1 b) ^ (d ->2 a)) = ((d ->2 a) ^ (a ->1 b))
4 imp3 841 . . . . 5 ((d ->2 a) ^ (a ->1 b)) = ((d' ^ a') v (a ^ b))
53, 4ax-r2 36 . . . 4 ((a ->1 b) ^ (d ->2 a)) = ((d' ^ a') v (a ^ b))
62, 52an 79 . . 3 (((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ ((a ->1 b) ^ (d ->2 a))) = (((b' ^ c') v (c ^ d)) ^ ((d' ^ a') v (a ^ b)))
7 leao3 164 . . . . . . . . 9 (c ^ d) =< (b v c)
8 oran 87 . . . . . . . . 9 (b v c) = (b' ^ c')'
97, 8lbtr 139 . . . . . . . 8 (c ^ d) =< (b' ^ c')'
109lecom 180 . . . . . . 7 (c ^ d) C (b' ^ c')'
1110comcom7 460 . . . . . 6 (c ^ d) C (b' ^ c')
1211comcom 453 . . . . 5 (b' ^ c') C (c ^ d)
13 leao2 163 . . . . . . . 8 (c ^ d) =< (d v a)
14 oran 87 . . . . . . . 8 (d v a) = (d' ^ a')'
1513, 14lbtr 139 . . . . . . 7 (c ^ d) =< (d' ^ a')'
1615lecom 180 . . . . . 6 (c ^ d) C (d' ^ a')'
1716comcom7 460 . . . . 5 (c ^ d) C (d' ^ a')
18 leao3 164 . . . . . . . . 9 (a ^ b) =< (d v a)
1918, 14lbtr 139 . . . . . . . 8 (a ^ b) =< (d' ^ a')'
2019lecom 180 . . . . . . 7 (a ^ b) C (d' ^ a')'
2120comcom7 460 . . . . . 6 (a ^ b) C (d' ^ a')
2221comcom 453 . . . . 5 (d' ^ a') C (a ^ b)
23 leao2 163 . . . . . . . 8 (a ^ b) =< (b v c)
2423, 8lbtr 139 . . . . . . 7 (a ^ b) =< (b' ^ c')'
2524lecom 180 . . . . . 6 (a ^ b) C (b' ^ c')'
2625comcom7 460 . . . . 5 (a ^ b) C (b' ^ c')
2712, 17, 22, 26mh2 884 . . . 4 (((b' ^ c') v (c ^ d)) ^ ((d' ^ a') v (a ^ b))) = ((((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) v ((b' ^ c') ^ (a ^ b))) v (((c ^ d) ^ (d' ^ a')) v ((c ^ d) ^ (a ^ b))))
28 ancom 74 . . . . . . . 8 ((c' ^ d') ^ (a' ^ b')) = ((a' ^ b') ^ (c' ^ d'))
29 ancom 74 . . . . . . . . . 10 (b' ^ c') = (c' ^ b')
3029ran 78 . . . . . . . . 9 ((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) = ((c' ^ b') ^ (d' ^ a'))
31 an4 86 . . . . . . . . 9 ((c' ^ b') ^ (d' ^ a')) = ((c' ^ d') ^ (b' ^ a'))
32 ancom 74 . . . . . . . . . 10 (b' ^ a') = (a' ^ b')
3332lan 77 . . . . . . . . 9 ((c' ^ d') ^ (b' ^ a')) = ((c' ^ d') ^ (a' ^ b'))
3430, 31, 333tr 65 . . . . . . . 8 ((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) = ((c' ^ d') ^ (a' ^ b'))
35 anass 76 . . . . . . . 8 (((a' ^ b') ^ c') ^ d') = ((a' ^ b') ^ (c' ^ d'))
3628, 34, 353tr1 63 . . . . . . 7 ((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) = (((a' ^ b') ^ c') ^ d')
37 ancom 74 . . . . . . . 8 ((b' ^ c') ^ (a ^ b)) = ((a ^ b) ^ (b' ^ c'))
38 anass 76 . . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ (b' ^ c')) = (a ^ (b ^ (b' ^ c')))
39 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (b ^ b')
4039ran 78 . . . . . . . . . . . 12 (0 ^ c') = ((b ^ b') ^ c')
4140ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 ((b ^ b') ^ c') = (0 ^ c')
42 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((b ^ b') ^ c') = (b ^ (b' ^ c'))
43 an0r 109 . . . . . . . . . . 11 (0 ^ c') = 0
4441, 42, 433tr2 64 . . . . . . . . . 10 (b ^ (b' ^ c')) = 0
4544lan 77 . . . . . . . . 9 (a ^ (b ^ (b' ^ c'))) = (a ^ 0)
46 an0 108 . . . . . . . . 9 (a ^ 0) = 0
4745, 46ax-r2 36 . . . . . . . 8 (a ^ (b ^ (b' ^ c'))) = 0
4837, 38, 473tr 65 . . . . . . 7 ((b' ^ c') ^ (a ^ b)) = 0
4936, 482or 72 . . . . . 6 (((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) v ((b' ^ c') ^ (a ^ b))) = ((((a' ^ b') ^ c') ^ d') v 0)
50 or0 102 . . . . . 6 ((((a' ^ b') ^ c') ^ d') v 0) = (((a' ^ b') ^ c') ^ d')
5149, 50ax-r2 36 . . . . 5 (((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) v ((b' ^ c') ^ (a ^ b))) = (((a' ^ b') ^ c') ^ d')
52 anass 76 . . . . . . . 8 ((c ^ d) ^ (d' ^ a')) = (c ^ (d ^ (d' ^ a')))
53 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((d ^ d') ^ a') = (d ^ (d' ^ a'))
5453ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (d ^ (d' ^ a')) = ((d ^ d') ^ a')
55 an0r 109 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ^ a') = 0
5655ax-r1 35 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0 ^ a')
57 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (d ^ d')
5857ran 78 . . . . . . . . . . . 12 (0 ^ a') = ((d ^ d') ^ a')
5956, 58ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 0 = ((d ^ d') ^ a')
6059ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 ((d ^ d') ^ a') = 0
6154, 60ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (d ^ (d' ^ a')) = 0
6261lan 77 . . . . . . . 8 (c ^ (d ^ (d' ^ a'))) = (c ^ 0)
63 an0 108 . . . . . . . 8 (c ^ 0) = 0
6452, 62, 633tr 65 . . . . . . 7 ((c ^ d) ^ (d' ^ a')) = 0
65 ancom 74 . . . . . . . 8 ((c ^ d) ^ (a ^ b)) = ((a ^ b) ^ (c ^ d))
66 anass 76 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) ^ c) ^ d) = ((a ^ b) ^ (c ^ d))
6766ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ (c ^ d)) = (((a ^ b) ^ c) ^ d)
6865, 67ax-r2 36 . . . . . . 7 ((c ^ d) ^ (a ^ b)) = (((a ^ b) ^ c) ^ d)
6964, 682or 72 . . . . . 6 (((c ^ d) ^ (d' ^ a')) v ((c ^ d) ^ (a ^ b))) = (0 v (((a ^ b) ^ c) ^ d))
70 or0r 103 . . . . . 6 (0 v (((a ^ b) ^ c) ^ d)) = (((a ^ b) ^ c) ^ d)
7169, 70ax-r2 36 . . . . 5 (((c ^ d) ^ (d' ^ a')) v ((c ^ d) ^ (a ^ b))) = (((a ^ b) ^ c) ^ d)
7251, 712or 72 . . . 4 ((((b' ^ c') ^ (d' ^ a')) v ((b' ^ c') ^ (a ^ b))) v (((c ^ d) ^ (d' ^ a')) v ((c ^ d) ^ (a ^ b)))) = ((((a' ^ b') ^ c') ^ d') v (((a ^ b) ^ c) ^ d))
73 ax-a2 31 . . . 4 ((((a' ^ b') ^ c') ^ d') v (((a ^ b) ^ c) ^ d)) = ((((a ^ b) ^ c) ^ d) v (((a' ^ b') ^ c') ^ d'))
7427, 72, 733tr 65 . . 3 (((b' ^ c') v (c ^ d)) ^ ((d' ^ a') v (a ^ b))) = ((((a ^ b) ^ c) ^ d) v (((a' ^ b') ^ c') ^ d'))
751, 6, 743tr 65 . 2 ((((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ (a ->1 b)) ^ (d ->2 a)) = ((((a ^ b) ^ c) ^ d) v (((a' ^ b') ^ c') ^ d'))
76 anass 76 . . . 4 (((a ->1 b) ^ (b ->2 c)) ^ (c ->1 d)) = ((a ->1 b) ^ ((b ->2 c) ^ (c ->1 d)))
77 ancom 74 . . . 4 ((a ->1 b) ^ ((b ->2 c) ^ (c ->1 d))) = (((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ (a ->1 b))
7876, 77ax-r2 36 . . 3 (((a ->1 b) ^ (b ->2 c)) ^ (c ->1 d)) = (((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ (a ->1 b))
7978ran 78 . 2 ((((a ->1 b) ^ (b ->2 c)) ^ (c ->1 d)) ^ (d ->2 a)) = ((((b ->2 c) ^ (c ->1 d)) ^ (a ->1 b)) ^ (d ->2 a))
80 bi4 840 . 2 (((a == b) ^ (b == c)) ^ (c == d)) = ((((a ^ b) ^ c) ^ d) v (((a' ^ b') ^ c') ^ d'))
8175, 79, 803tr1 63 1 ((((a ->1 b) ^ (b ->2 c)) ^ (c ->1 d)) ^ (d ->2 a)) = (((a == b) ^ (b == c)) ^ (c == d))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   == tb 5   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->1 wi1 12   ->2 wi2 13
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  oago3.29  889  oago3.21x  890
  Copyright terms: Public domain W3C validator