QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u1lemanb Unicode version
Theorem u1lemanb 615
Description: Lemma for Sasaki implication study.
Assertion
Ref Expression
u1lemanb ((a ->1 b) ^ b') = (a' ^ b')
Proof of Theorem u1lemanb
StepHypRef Expression
1 df-i1 44 . . 3 (a ->1 b) = (a' v (a ^ b))
21ran 78 . 2 ((a ->1 b) ^ b') = ((a' v (a ^ b)) ^ b')
3 ax-a2 31 . . . 4 (a' v (a ^ b)) = ((a ^ b) v a')
43ran 78 . . 3 ((a' v (a ^ b)) ^ b') = (((a ^ b) v a') ^ b')
5 coman2 186 . . . . . 6 (a ^ b) C b
65comcom2 183 . . . . 5 (a ^ b) C b'
7 coman1 185 . . . . . 6 (a ^ b) C a
87comcom2 183 . . . . 5 (a ^ b) C a'
96, 8fh2r 474 . . . 4 (((a ^ b) v a') ^ b') = (((a ^ b) ^ b') v (a' ^ b'))
10 ax-a2 31 . . . . 5 (((a ^ b) ^ b') v (a' ^ b')) = ((a' ^ b') v ((a ^ b) ^ b'))
11 anass 76 . . . . . . . 8 ((a ^ b) ^ b') = (a ^ (b ^ b'))
12 dff 101 . . . . . . . . . . 11 0 = (b ^ b')
1312lan 77 . . . . . . . . . 10 (a ^ 0) = (a ^ (b ^ b'))
1413ax-r1 35 . . . . . . . . 9 (a ^ (b ^ b')) = (a ^ 0)
15 an0 108 . . . . . . . . 9 (a ^ 0) = 0
1614, 15ax-r2 36 . . . . . . . 8 (a ^ (b ^ b')) = 0
1711, 16ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a ^ b) ^ b') = 0
1817lor 70 . . . . . 6 ((a' ^ b') v ((a ^ b) ^ b')) = ((a' ^ b') v 0)
19 or0 102 . . . . . 6 ((a' ^ b') v 0) = (a' ^ b')
2018, 19ax-r2 36 . . . . 5 ((a' ^ b') v ((a ^ b) ^ b')) = (a' ^ b')
2110, 20ax-r2 36 . . . 4 (((a ^ b) ^ b') v (a' ^ b')) = (a' ^ b')
229, 21ax-r2 36 . . 3 (((a ^ b) v a') ^ b') = (a' ^ b')
234, 22ax-r2 36 . 2 ((a' v (a ^ b)) ^ b') = (a' ^ b')
242, 23ax-r2 36 1 ((a ->1 b) ^ b') = (a' ^ b')
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->1 wi1 12
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u1lemnob  670  u3lem14a  791  negantlem5  853
  Copyright terms: Public domain W3C validator