QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lem13a Unicode version
Theorem u3lem13a 789
Description: Lemma for unified implication study.
Assertion
Ref Expression
u3lem13a (a ->3 (a ->3 b')') = (a ->1 b)
Proof of Theorem u3lem13a
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . 2 (a ->3 (a ->3 b')') = (((a' ^ (a ->3 b')') v (a' ^ (a ->3 b')'')) v (a ^ (a' v (a ->3 b')')))
2 ancom 74 . . . . . . 7 (a' ^ (a ->3 b')') = ((a ->3 b')' ^ a')
3 u3lemnana 647 . . . . . . 7 ((a ->3 b')' ^ a') = (a' ^ ((a v b') ^ (a v b'')))
42, 3ax-r2 36 . . . . . 6 (a' ^ (a ->3 b')') = (a' ^ ((a v b') ^ (a v b'')))
5 ax-a1 30 . . . . . . . . 9 (a ->3 b') = (a ->3 b')''
65ax-r1 35 . . . . . . . 8 (a ->3 b')'' = (a ->3 b')
76lan 77 . . . . . . 7 (a' ^ (a ->3 b')'') = (a' ^ (a ->3 b'))
8 ancom 74 . . . . . . . 8 (a' ^ (a ->3 b')) = ((a ->3 b') ^ a')
9 u3lemana 607 . . . . . . . 8 ((a ->3 b') ^ a') = ((a' ^ b') v (a' ^ b''))
108, 9ax-r2 36 . . . . . . 7 (a' ^ (a ->3 b')) = ((a' ^ b') v (a' ^ b''))
117, 10ax-r2 36 . . . . . 6 (a' ^ (a ->3 b')'') = ((a' ^ b') v (a' ^ b''))
124, 112or 72 . . . . 5 ((a' ^ (a ->3 b')') v (a' ^ (a ->3 b')'')) = ((a' ^ ((a v b') ^ (a v b''))) v ((a' ^ b') v (a' ^ b'')))
13 comanr1 464 . . . . . . . 8 a' C (a' ^ b')
14 comanr1 464 . . . . . . . 8 a' C (a' ^ b'')
1513, 14com2or 483 . . . . . . 7 a' C ((a' ^ b') v (a' ^ b''))
16 comorr 184 . . . . . . . . 9 a C (a v b')
17 comorr 184 . . . . . . . . 9 a C (a v b'')
1816, 17com2an 484 . . . . . . . 8 a C ((a v b') ^ (a v b''))
1918comcom3 454 . . . . . . 7 a' C ((a v b') ^ (a v b''))
2015, 19fh4r 476 . . . . . 6 ((a' ^ ((a v b') ^ (a v b''))) v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) = ((a' v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) ^ (((a v b') ^ (a v b'')) v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))))
21 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (a' v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) = (((a' ^ b') v (a' ^ b'')) v a')
22 lea 160 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b') =< a'
23 lea 160 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b'') =< a'
2422, 23lel2or 170 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b') v (a' ^ b'')) =< a'
2524df-le2 131 . . . . . . . . 9 (((a' ^ b') v (a' ^ b'')) v a') = a'
2621, 25ax-r2 36 . . . . . . . 8 (a' v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) = a'
27 anor2 89 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ b') = (a v b'')'
28 anor3 90 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ b'') = (a v b')'
2927, 282or 72 . . . . . . . . . . . 12 ((a' ^ b') v (a' ^ b'')) = ((a v b'')' v (a v b')')
30 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . 12 ((a v b'')' v (a v b')') = ((a v b')' v (a v b'')')
3129, 30ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ b') v (a' ^ b'')) = ((a v b')' v (a v b'')')
32 oran3 93 . . . . . . . . . . 11 ((a v b')' v (a v b'')') = ((a v b') ^ (a v b''))'
3331, 32ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b') v (a' ^ b'')) = ((a v b') ^ (a v b''))'
3433lor 70 . . . . . . . . 9 (((a v b') ^ (a v b'')) v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) = (((a v b') ^ (a v b'')) v ((a v b') ^ (a v b''))')
35 df-t 41 . . . . . . . . . 10 1 = (((a v b') ^ (a v b'')) v ((a v b') ^ (a v b''))')
3635ax-r1 35 . . . . . . . . 9 (((a v b') ^ (a v b'')) v ((a v b') ^ (a v b''))') = 1
3734, 36ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((a v b') ^ (a v b'')) v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) = 1
3826, 372an 79 . . . . . . 7 ((a' v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) ^ (((a v b') ^ (a v b'')) v ((a' ^ b') v (a' ^ b'')))) = (a' ^ 1)
39 an1 106 . . . . . . 7 (a' ^ 1) = a'
4038, 39ax-r2 36 . . . . . 6 ((a' v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) ^ (((a v b') ^ (a v b'')) v ((a' ^ b') v (a' ^ b'')))) = a'
4120, 40ax-r2 36 . . . . 5 ((a' ^ ((a v b') ^ (a v b''))) v ((a' ^ b') v (a' ^ b''))) = a'
4212, 41ax-r2 36 . . . 4 ((a' ^ (a ->3 b')') v (a' ^ (a ->3 b')'')) = a'
43 comid 187 . . . . . . 7 a C a
4443comcom2 183 . . . . . 6 a C a'
45 comi31 508 . . . . . . 7 a C (a ->3 b')
4645comcom2 183 . . . . . 6 a C (a ->3 b')'
4744, 46fh1 469 . . . . 5 (a ^ (a' v (a ->3 b')')) = ((a ^ a') v (a ^ (a ->3 b')'))
48 dff 101 . . . . . . . 8 0 = (a ^ a')
4948ax-r1 35 . . . . . . 7 (a ^ a') = 0
50 ancom 74 . . . . . . . 8 (a ^ (a ->3 b')') = ((a ->3 b')' ^ a)
51 u3lemnaa 642 . . . . . . . 8 ((a ->3 b')' ^ a) = (a ^ b'')
5250, 51ax-r2 36 . . . . . . 7 (a ^ (a ->3 b')') = (a ^ b'')
5349, 522or 72 . . . . . 6 ((a ^ a') v (a ^ (a ->3 b')')) = (0 v (a ^ b''))
54 ax-a2 31 . . . . . . 7 (0 v (a ^ b'')) = ((a ^ b'') v 0)
55 or0 102 . . . . . . 7 ((a ^ b'') v 0) = (a ^ b'')
5654, 55ax-r2 36 . . . . . 6 (0 v (a ^ b'')) = (a ^ b'')
5753, 56ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ a') v (a ^ (a ->3 b')')) = (a ^ b'')
5847, 57ax-r2 36 . . . 4 (a ^ (a' v (a ->3 b')')) = (a ^ b'')
5942, 582or 72 . . 3 (((a' ^ (a ->3 b')') v (a' ^ (a ->3 b')'')) v (a ^ (a' v (a ->3 b')'))) = (a' v (a ^ b''))
60 ax-a1 30 . . . . . . 7 b = b''
6160ax-r1 35 . . . . . 6 b'' = b
6261lan 77 . . . . 5 (a ^ b'') = (a ^ b)
6362lor 70 . . . 4 (a' v (a ^ b'')) = (a' v (a ^ b))
64 df-i1 44 . . . . 5 (a ->1 b) = (a' v (a ^ b))
6564ax-r1 35 . . . 4 (a' v (a ^ b)) = (a ->1 b)
6663, 65ax-r2 36 . . 3 (a' v (a ^ b'')) = (a ->1 b)
6759, 66ax-r2 36 . 2 (((a' ^ (a ->3 b')') v (a' ^ (a ->3 b')'')) v (a ^ (a' v (a ->3 b')'))) = (a ->1 b)
681, 67ax-r2 36 1 (a ->3 (a ->3 b')') = (a ->1 b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8  0wf 9   ->1 wi1 12   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u3lem14aa2  793
  Copyright terms: Public domain W3C validator