QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lemana Unicode version
Theorem u3lemana 607
Description: Lemma for Kalmbach implication study.
Assertion
Ref Expression
u3lemana ((a ->3 b) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
Proof of Theorem u3lemana
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
21ran 78 . 2 ((a ->3 b) ^ a') = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ a')
3 comanr1 464 . . . . 5 a' C (a' ^ b)
4 comanr1 464 . . . . 5 a' C (a' ^ b')
53, 4com2or 483 . . . 4 a' C ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
6 comid 187 . . . . . 6 a C a
76comcom3 454 . . . . 5 a' C a
8 comorr 184 . . . . 5 a' C (a' v b)
97, 8com2an 484 . . . 4 a' C (a ^ (a' v b))
105, 9fh1r 473 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ a') = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a') v ((a ^ (a' v b)) ^ a'))
11 lea 160 . . . . . . 7 (a' ^ b) =< a'
12 lea 160 . . . . . . 7 (a' ^ b') =< a'
1311, 12lel2or 170 . . . . . 6 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) =< a'
1413df2le2 136 . . . . 5 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
15 an32 83 . . . . . 6 ((a ^ (a' v b)) ^ a') = ((a ^ a') ^ (a' v b))
16 ancom 74 . . . . . . 7 ((a ^ a') ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ (a ^ a'))
17 dff 101 . . . . . . . . . 10 0 = (a ^ a')
1817ax-r1 35 . . . . . . . . 9 (a ^ a') = 0
1918lan 77 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ (a ^ a')) = ((a' v b) ^ 0)
20 an0 108 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ 0) = 0
2119, 20ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ (a ^ a')) = 0
2216, 21ax-r2 36 . . . . . 6 ((a ^ a') ^ (a' v b)) = 0
2315, 22ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ (a' v b)) ^ a') = 0
2414, 232or 72 . . . 4 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a') v ((a ^ (a' v b)) ^ a')) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v 0)
25 or0 102 . . . 4 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v 0) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
2624, 25ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a') v ((a ^ (a' v b)) ^ a')) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
2710, 26ax-r2 36 . 2 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
282, 27ax-r2 36 1 ((a ->3 b) ^ a') = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u3lemnoa  662  u3lem13a  789  u3lem13b  790
  Copyright terms: Public domain W3C validator