QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lem15 Unicode version
Theorem u3lem15 795
Description: Lemma for Kalmbach implication.
Assertion
Ref Expression
u3lem15 ((a ->3 b) ^ (a v b)) = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
Proof of Theorem u3lem15
StepHypRef Expression
1 dfi3b 499 . . 3 (a ->3 b) = ((a' v b) ^ ((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b)))
21ran 78 . 2 ((a ->3 b) ^ (a v b)) = (((a' v b) ^ ((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b))) ^ (a v b))
3 anass 76 . 2 (((a' v b) ^ ((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b))) ^ (a v b)) = ((a' v b) ^ (((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b)) ^ (a v b)))
4 comor1 461 . . . . . 6 (a v b) C a
54comcom2 183 . . . . . . 7 (a v b) C a'
6 comor2 462 . . . . . . . 8 (a v b) C b
76comcom2 183 . . . . . . 7 (a v b) C b'
85, 7com2an 484 . . . . . 6 (a v b) C (a' ^ b')
94, 8com2or 483 . . . . 5 (a v b) C (a v (a' ^ b'))
10 leao4 165 . . . . . . 7 (a' ^ b) =< (a v b)
1110lecom 180 . . . . . 6 (a' ^ b) C (a v b)
1211comcom 453 . . . . 5 (a v b) C (a' ^ b)
139, 12fh1r 473 . . . 4 (((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b)) ^ (a v b)) = (((a v (a' ^ b')) ^ (a v b)) v ((a' ^ b) ^ (a v b)))
144, 8fh1r 473 . . . . . 6 ((a v (a' ^ b')) ^ (a v b)) = ((a ^ (a v b)) v ((a' ^ b') ^ (a v b)))
15 anabs 121 . . . . . . 7 (a ^ (a v b)) = a
16 oran 87 . . . . . . . . 9 (a v b) = (a' ^ b')'
1716lan 77 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ (a v b)) = ((a' ^ b') ^ (a' ^ b')')
18 dff 101 . . . . . . . . 9 0 = ((a' ^ b') ^ (a' ^ b')')
1918ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ (a' ^ b')') = 0
2017, 19ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' ^ b') ^ (a v b)) = 0
2115, 202or 72 . . . . . 6 ((a ^ (a v b)) v ((a' ^ b') ^ (a v b))) = (a v 0)
22 or0 102 . . . . . 6 (a v 0) = a
2314, 21, 223tr 65 . . . . 5 ((a v (a' ^ b')) ^ (a v b)) = a
2410df2le2 136 . . . . 5 ((a' ^ b) ^ (a v b)) = (a' ^ b)
2523, 242or 72 . . . 4 (((a v (a' ^ b')) ^ (a v b)) v ((a' ^ b) ^ (a v b))) = (a v (a' ^ b))
2613, 25ax-r2 36 . . 3 (((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b)) ^ (a v b)) = (a v (a' ^ b))
2726lan 77 . 2 ((a' v b) ^ (((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b)) ^ (a v b))) = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
282, 3, 273tr 65 1 ((a ->3 b) ^ (a v b)) = ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b)))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  neg3antlem2  865
  Copyright terms: Public domain W3C validator