QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  dfi3b Unicode version
Theorem dfi3b 499
Description: Alternate Kalmbach conditional.
Assertion
Ref Expression
dfi3b (a ->3 b) = ((a' v b) ^ ((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b)))
Proof of Theorem dfi3b
StepHypRef Expression
1 ax-a2 31 . . 3 (((a' ^ (a' ^ b)) v (b ^ (a' ^ b))) v (((a' v b) ^ a) v ((a' v b) ^ (a' ^ b')))) = ((((a' v b) ^ a) v ((a' v b) ^ (a' ^ b'))) v ((a' ^ (a' ^ b)) v (b ^ (a' ^ b))))
2 ax-a3 32 . . . 4 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) = ((a' ^ b) v ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b))))
3 oridm 110 . . . . . . 7 ((a' ^ b) v (a' ^ b)) = (a' ^ b)
43ax-r1 35 . . . . . 6 (a' ^ b) = ((a' ^ b) v (a' ^ b))
5 anidm 111 . . . . . . . . . 10 (a' ^ a') = a'
65ax-r1 35 . . . . . . . . 9 a' = (a' ^ a')
76ran 78 . . . . . . . 8 (a' ^ b) = ((a' ^ a') ^ b)
8 anass 76 . . . . . . . 8 ((a' ^ a') ^ b) = (a' ^ (a' ^ b))
97, 8ax-r2 36 . . . . . . 7 (a' ^ b) = (a' ^ (a' ^ b))
10 anidm 111 . . . . . . . . . 10 (b ^ b) = b
1110ax-r1 35 . . . . . . . . 9 b = (b ^ b)
1211lan 77 . . . . . . . 8 (a' ^ b) = (a' ^ (b ^ b))
13 an12 81 . . . . . . . 8 (a' ^ (b ^ b)) = (b ^ (a' ^ b))
1412, 13ax-r2 36 . . . . . . 7 (a' ^ b) = (b ^ (a' ^ b))
159, 142or 72 . . . . . 6 ((a' ^ b) v (a' ^ b)) = ((a' ^ (a' ^ b)) v (b ^ (a' ^ b)))
164, 15ax-r2 36 . . . . 5 (a' ^ b) = ((a' ^ (a' ^ b)) v (b ^ (a' ^ b)))
17 lea 160 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b') =< a'
18 leo 158 . . . . . . . . . . 11 a' =< (a' v b)
1917, 18letr 137 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b') =< (a' v b)
2019df2le2 136 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b') ^ (a' v b)) = (a' ^ b')
2120ax-r1 35 . . . . . . . 8 (a' ^ b') = ((a' ^ b') ^ (a' v b))
22 ancom 74 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ (a' ^ b'))
2321, 22ax-r2 36 . . . . . . 7 (a' ^ b') = ((a' v b) ^ (a' ^ b'))
24 ancom 74 . . . . . . 7 (a ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ a)
2523, 242or 72 . . . . . 6 ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b))) = (((a' v b) ^ (a' ^ b')) v ((a' v b) ^ a))
26 ax-a2 31 . . . . . 6 (((a' v b) ^ (a' ^ b')) v ((a' v b) ^ a)) = (((a' v b) ^ a) v ((a' v b) ^ (a' ^ b')))
2725, 26ax-r2 36 . . . . 5 ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b))) = (((a' v b) ^ a) v ((a' v b) ^ (a' ^ b')))
2816, 272or 72 . . . 4 ((a' ^ b) v ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))) = (((a' ^ (a' ^ b)) v (b ^ (a' ^ b))) v (((a' v b) ^ a) v ((a' v b) ^ (a' ^ b'))))
292, 28ax-r2 36 . . 3 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) = (((a' ^ (a' ^ b)) v (b ^ (a' ^ b))) v (((a' v b) ^ a) v ((a' v b) ^ (a' ^ b'))))
30 comor1 461 . . . . . 6 (a' v b) C a'
3130comcom7 460 . . . . 5 (a' v b) C a
32 comor2 462 . . . . . . 7 (a' v b) C b
3332comcom2 183 . . . . . 6 (a' v b) C b'
3430, 33com2an 484 . . . . 5 (a' v b) C (a' ^ b')
3531, 34fh1 469 . . . 4 ((a' v b) ^ (a v (a' ^ b'))) = (((a' v b) ^ a) v ((a' v b) ^ (a' ^ b')))
36 coman1 185 . . . . 5 (a' ^ b) C a'
37 coman2 186 . . . . 5 (a' ^ b) C b
3836, 37fh1r 473 . . . 4 ((a' v b) ^ (a' ^ b)) = ((a' ^ (a' ^ b)) v (b ^ (a' ^ b)))
3935, 382or 72 . . 3 (((a' v b) ^ (a v (a' ^ b'))) v ((a' v b) ^ (a' ^ b))) = ((((a' v b) ^ a) v ((a' v b) ^ (a' ^ b'))) v ((a' ^ (a' ^ b)) v (b ^ (a' ^ b))))
401, 29, 393tr1 63 . 2 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) = (((a' v b) ^ (a v (a' ^ b'))) v ((a' v b) ^ (a' ^ b)))
41 df-i3 46 . 2 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
4231, 34com2or 483 . . 3 (a' v b) C (a v (a' ^ b'))
4330, 32com2an 484 . . 3 (a' v b) C (a' ^ b)
4442, 43fh1 469 . 2 ((a' v b) ^ ((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b))) = (((a' v b) ^ (a v (a' ^ b'))) v ((a' v b) ^ (a' ^ b)))
4540, 41, 443tr1 63 1 (a ->3 b) = ((a' v b) ^ ((a v (a' ^ b')) v (a' ^ b)))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  dfi4b  500  u3lem15  795  negantlem9  859
  Copyright terms: Public domain W3C validator