QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lemab Unicode version
Theorem u3lemab 612
Description: Lemma for Kalmbach implication study.
Assertion
Ref Expression
u3lemab ((a ->3 b) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
Proof of Theorem u3lemab
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
21ran 78 . 2 ((a ->3 b) ^ b) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ b)
3 comanr2 465 . . . . . 6 b C (a' ^ b)
4 comanr2 465 . . . . . . 7 b' C (a' ^ b')
54comcom6 459 . . . . . 6 b C (a' ^ b')
63, 5com2or 483 . . . . 5 b C ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
76comcom 453 . . . 4 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) C b
8 coman1 185 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) C a'
98comcom7 460 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C a
10 coman2 186 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) C b
118, 10com2or 483 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C (a' v b)
129, 11com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b) C (a ^ (a' v b))
1312comcom 453 . . . . . 6 (a ^ (a' v b)) C (a' ^ b)
14 coman1 185 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') C a'
1514comcom7 460 . . . . . . . 8 (a' ^ b') C a
16 coman2 186 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b') C b'
1716comcom7 460 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') C b
1814, 17com2or 483 . . . . . . . 8 (a' ^ b') C (a' v b)
1915, 18com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b') C (a ^ (a' v b))
2019comcom 453 . . . . . 6 (a ^ (a' v b)) C (a' ^ b')
2113, 20com2or 483 . . . . 5 (a ^ (a' v b)) C ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
2221comcom 453 . . . 4 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) C (a ^ (a' v b))
237, 22fh2r 474 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ b) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b) v ((a ^ (a' v b)) ^ b))
243, 5fh1r 473 . . . . . 6 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b) = (((a' ^ b) ^ b) v ((a' ^ b') ^ b))
25 anass 76 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ b) = (a' ^ (b ^ b))
26 anidm 111 . . . . . . . . . 10 (b ^ b) = b
2726lan 77 . . . . . . . . 9 (a' ^ (b ^ b)) = (a' ^ b)
2825, 27ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ b) = (a' ^ b)
29 an32 83 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b') ^ b) = ((a' ^ b) ^ b')
30 anass 76 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b) ^ b') = (a' ^ (b ^ b'))
31 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (b ^ b')
3231ax-r1 35 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ b') = 0
3332lan 77 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ (b ^ b')) = (a' ^ 0)
34 an0 108 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ 0) = 0
3533, 34ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a' ^ (b ^ b')) = 0
3630, 35ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ b') = 0
3729, 36ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ b) = 0
3828, 372or 72 . . . . . . 7 (((a' ^ b) ^ b) v ((a' ^ b') ^ b)) = ((a' ^ b) v 0)
39 or0 102 . . . . . . 7 ((a' ^ b) v 0) = (a' ^ b)
4038, 39ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' ^ b) ^ b) v ((a' ^ b') ^ b)) = (a' ^ b)
4124, 40ax-r2 36 . . . . 5 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b) = (a' ^ b)
42 anass 76 . . . . . 6 ((a ^ (a' v b)) ^ b) = (a ^ ((a' v b) ^ b))
43 ancom 74 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ b) = (b ^ (a' v b))
44 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 (a' v b) = (b v a')
4544lan 77 . . . . . . . . 9 (b ^ (a' v b)) = (b ^ (b v a'))
46 anabs 121 . . . . . . . . 9 (b ^ (b v a')) = b
4745, 46ax-r2 36 . . . . . . . 8 (b ^ (a' v b)) = b
4843, 47ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ b) = b
4948lan 77 . . . . . 6 (a ^ ((a' v b) ^ b)) = (a ^ b)
5042, 49ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ (a' v b)) ^ b) = (a ^ b)
5141, 502or 72 . . . 4 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b) v ((a ^ (a' v b)) ^ b)) = ((a' ^ b) v (a ^ b))
52 ax-a2 31 . . . 4 ((a' ^ b) v (a ^ b)) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
5351, 52ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ b) v ((a ^ (a' v b)) ^ b)) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
5423, 53ax-r2 36 . 2 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
552, 54ax-r2 36 1 ((a ->3 b) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u3lemnonb  677  neg3antlem1  864  neg3antlem2  865
  Copyright terms: Public domain W3C validator