QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lemab Unicode version
Theorem u4lemab 613
Description: Lemma for non-tollens implication study.
Assertion
Ref Expression
u4lemab ((a ->4 b) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
Proof of Theorem u4lemab
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->4 b) ^ b) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ b)
3 comanr2 465 . . . . 5 b C (a ^ b)
4 comanr2 465 . . . . 5 b C (a' ^ b)
53, 4com2or 483 . . . 4 b C ((a ^ b) v (a' ^ b))
6 comanr2 465 . . . . 5 b' C ((a' v b) ^ b')
76comcom6 459 . . . 4 b C ((a' v b) ^ b')
85, 7fh1r 473 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ b) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b) v (((a' v b) ^ b') ^ b))
9 lear 161 . . . . . . 7 (a ^ b) =< b
10 lear 161 . . . . . . 7 (a' ^ b) =< b
119, 10lel2or 170 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) =< b
1211df2le2 136 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
13 an32 83 . . . . . 6 (((a' v b) ^ b') ^ b) = (((a' v b) ^ b) ^ b')
14 anass 76 . . . . . . 7 (((a' v b) ^ b) ^ b') = ((a' v b) ^ (b ^ b'))
15 dff 101 . . . . . . . . . 10 0 = (b ^ b')
1615lan 77 . . . . . . . . 9 ((a' v b) ^ 0) = ((a' v b) ^ (b ^ b'))
1716ax-r1 35 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ (b ^ b')) = ((a' v b) ^ 0)
18 an0 108 . . . . . . . 8 ((a' v b) ^ 0) = 0
1917, 18ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' v b) ^ (b ^ b')) = 0
2014, 19ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' v b) ^ b) ^ b') = 0
2113, 20ax-r2 36 . . . . 5 (((a' v b) ^ b') ^ b) = 0
2212, 212or 72 . . . 4 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b) v (((a' v b) ^ b') ^ b)) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v 0)
23 or0 102 . . . 4 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v 0) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
2422, 23ax-r2 36 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ b) v (((a' v b) ^ b') ^ b)) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
258, 24ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
262, 25ax-r2 36 1 ((a ->4 b) ^ b) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lemnonb  678  u24lem  770
  Copyright terms: Public domain W3C validator