QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lemob Unicode version
Theorem u3lemob 632
Description: Lemma for Kalmbach implication study.
Assertion
Ref Expression
u3lemob ((a ->3 b) v b) = (a' v b)
Proof of Theorem u3lemob
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
21ax-r5 38 . 2 ((a ->3 b) v b) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) v b)
3 or32 82 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) v b) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b) v (a ^ (a' v b)))
4 or32 82 . . . . . 6 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b) = (((a' ^ b) v b) v (a' ^ b'))
5 lear 161 . . . . . . . 8 (a' ^ b) =< b
65df-le2 131 . . . . . . 7 ((a' ^ b) v b) = b
76ax-r5 38 . . . . . 6 (((a' ^ b) v b) v (a' ^ b')) = (b v (a' ^ b'))
84, 7ax-r2 36 . . . . 5 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b) = (b v (a' ^ b'))
9 ancom 74 . . . . 5 (a ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ a)
108, 92or 72 . . . 4 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b) v (a ^ (a' v b))) = ((b v (a' ^ b')) v ((a' v b) ^ a))
11 comor2 462 . . . . . . 7 (a' v b) C b
12 comor1 461 . . . . . . . 8 (a' v b) C a'
1311comcom2 183 . . . . . . . 8 (a' v b) C b'
1412, 13com2an 484 . . . . . . 7 (a' v b) C (a' ^ b')
1511, 14com2or 483 . . . . . 6 (a' v b) C (b v (a' ^ b'))
1612comcom7 460 . . . . . 6 (a' v b) C a
1715, 16fh4 472 . . . . 5 ((b v (a' ^ b')) v ((a' v b) ^ a)) = (((b v (a' ^ b')) v (a' v b)) ^ ((b v (a' ^ b')) v a))
18 or32 82 . . . . . . . 8 ((b v (a' ^ b')) v (a' v b)) = ((b v (a' v b)) v (a' ^ b'))
19 or12 80 . . . . . . . . . . 11 (b v (a' v b)) = (a' v (b v b))
20 oridm 110 . . . . . . . . . . . 12 (b v b) = b
2120lor 70 . . . . . . . . . . 11 (a' v (b v b)) = (a' v b)
2219, 21ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (b v (a' v b)) = (a' v b)
2322ax-r5 38 . . . . . . . . 9 ((b v (a' v b)) v (a' ^ b')) = ((a' v b) v (a' ^ b'))
24 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 ((a' v b) v (a' ^ b')) = ((a' ^ b') v (a' v b))
25 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ b') =< a'
26 leo 158 . . . . . . . . . . . 12 a' =< (a' v b)
2725, 26letr 137 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b') =< (a' v b)
2827df-le2 131 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b') v (a' v b)) = (a' v b)
2924, 28ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' v b) v (a' ^ b')) = (a' v b)
3023, 29ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((b v (a' v b)) v (a' ^ b')) = (a' v b)
3118, 30ax-r2 36 . . . . . . 7 ((b v (a' ^ b')) v (a' v b)) = (a' v b)
32 or32 82 . . . . . . . 8 ((b v (a' ^ b')) v a) = ((b v a) v (a' ^ b'))
33 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b') = (b' ^ a')
34 oran 87 . . . . . . . . . . . . 13 (b v a) = (b' ^ a')'
3534con2 67 . . . . . . . . . . . 12 (b v a)' = (b' ^ a')
3635ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (b' ^ a') = (b v a)'
3733, 36ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b') = (b v a)'
3837lor 70 . . . . . . . . 9 ((b v a) v (a' ^ b')) = ((b v a) v (b v a)')
39 df-t 41 . . . . . . . . . 10 1 = ((b v a) v (b v a)')
4039ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((b v a) v (b v a)') = 1
4138, 40ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((b v a) v (a' ^ b')) = 1
4232, 41ax-r2 36 . . . . . . 7 ((b v (a' ^ b')) v a) = 1
4331, 422an 79 . . . . . 6 (((b v (a' ^ b')) v (a' v b)) ^ ((b v (a' ^ b')) v a)) = ((a' v b) ^ 1)
44 an1 106 . . . . . 6 ((a' v b) ^ 1) = (a' v b)
4543, 44ax-r2 36 . . . . 5 (((b v (a' ^ b')) v (a' v b)) ^ ((b v (a' ^ b')) v a)) = (a' v b)
4617, 45ax-r2 36 . . . 4 ((b v (a' ^ b')) v ((a' v b) ^ a)) = (a' v b)
4710, 46ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v b) v (a ^ (a' v b))) = (a' v b)
483, 47ax-r2 36 . 2 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) v b) = (a' v b)
492, 48ax-r2 36 1 ((a ->3 b) v b) = (a' v b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u3lemnanb  657  neg3antlem2  865
  Copyright terms: Public domain W3C validator