QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lemob Unicode version
Theorem u4lemob 633
Description: Lemma for non-tollens implication study.
Assertion
Ref Expression
u4lemob ((a ->4 b) v b) = (a' v b)
Proof of Theorem u4lemob
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
21ax-r5 38 . 2 ((a ->4 b) v b) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) v b)
3 or32 82 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) v b) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) v ((a' v b) ^ b'))
4 lear 161 . . . . . . 7 (a ^ b) =< b
5 lear 161 . . . . . . 7 (a' ^ b) =< b
64, 5lel2or 170 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) =< b
76df-le2 131 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) = b
87ax-r5 38 . . . 4 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) v ((a' v b) ^ b')) = (b v ((a' v b) ^ b'))
9 comorr2 463 . . . . . 6 b C (a' v b)
10 comid 187 . . . . . . 7 b C b
1110comcom2 183 . . . . . 6 b C b'
129, 11fh3 471 . . . . 5 (b v ((a' v b) ^ b')) = ((b v (a' v b)) ^ (b v b'))
13 or12 80 . . . . . . . 8 (b v (a' v b)) = (a' v (b v b))
14 oridm 110 . . . . . . . . 9 (b v b) = b
1514lor 70 . . . . . . . 8 (a' v (b v b)) = (a' v b)
1613, 15ax-r2 36 . . . . . . 7 (b v (a' v b)) = (a' v b)
17 df-t 41 . . . . . . . 8 1 = (b v b')
1817ax-r1 35 . . . . . . 7 (b v b') = 1
1916, 182an 79 . . . . . 6 ((b v (a' v b)) ^ (b v b')) = ((a' v b) ^ 1)
20 an1 106 . . . . . 6 ((a' v b) ^ 1) = (a' v b)
2119, 20ax-r2 36 . . . . 5 ((b v (a' v b)) ^ (b v b')) = (a' v b)
2212, 21ax-r2 36 . . . 4 (b v ((a' v b) ^ b')) = (a' v b)
238, 22ax-r2 36 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v b) v ((a' v b) ^ b')) = (a' v b)
243, 23ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) v b) = (a' v b)
252, 24ax-r2 36 1 ((a ->4 b) v b) = (a' v b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lemnanb  658
  Copyright terms: Public domain W3C validator