QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lem1n Unicode version
Theorem u4lem1n 742
Description: Lemma for unified implication study.
Assertion
Ref Expression
u4lem1n ((a ->4 b) ->4 a)' = ((((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
Proof of Theorem u4lem1n
StepHypRef Expression
1 oran1 91 . . . . 5 (((a ^ b) v (a ^ b')) v a') = (((a ^ b) v (a ^ b'))' ^ a)'
2 df-a 40 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b) = (a' v b')'
3 anor1 88 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b') = (a' v b)'
42, 32or 72 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a ^ b')) = ((a' v b')' v (a' v b)')
54ax-r4 37 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v (a ^ b'))' = ((a' v b')' v (a' v b)')'
6 df-a 40 . . . . . . . . . 10 ((a' v b') ^ (a' v b)) = ((a' v b')' v (a' v b)')'
76ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a' v b')' v (a' v b)')' = ((a' v b') ^ (a' v b))
85, 7ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v (a ^ b'))' = ((a' v b') ^ (a' v b))
9 ancom 74 . . . . . . . 8 ((a' v b') ^ (a' v b)) = ((a' v b) ^ (a' v b'))
108, 9ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a ^ b) v (a ^ b'))' = ((a' v b) ^ (a' v b'))
1110ran 78 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a ^ b'))' ^ a) = (((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a)
1211ax-r4 37 . . . . 5 (((a ^ b) v (a ^ b'))' ^ a)' = (((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a)'
131, 12ax-r2 36 . . . 4 (((a ^ b) v (a ^ b')) v a') = (((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a)'
14 ancom 74 . . . . 5 ((a v b) ^ (a v b')) = ((a v b') ^ (a v b))
15 df-a 40 . . . . . 6 ((a v b') ^ (a v b)) = ((a v b')' v (a v b)')'
16 anor2 89 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) = (a v b')'
17 anor3 90 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') = (a v b)'
1816, 172or 72 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) = ((a v b')' v (a v b)')
1918ax-r4 37 . . . . . . 7 ((a' ^ b) v (a' ^ b'))' = ((a v b')' v (a v b)')'
2019ax-r1 35 . . . . . 6 ((a v b')' v (a v b)')' = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))'
2115, 20ax-r2 36 . . . . 5 ((a v b') ^ (a v b)) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))'
2214, 21ax-r2 36 . . . 4 ((a v b) ^ (a v b')) = ((a' ^ b) v (a' ^ b'))'
2313, 222an 79 . . 3 ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b'))) = ((((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a)' ^ ((a' ^ b) v (a' ^ b'))')
2423ax-r4 37 . 2 ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))' = ((((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a)' ^ ((a' ^ b) v (a' ^ b'))')'
25 u4lem1 737 . . 3 ((a ->4 b) ->4 a) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
2625ax-r4 37 . 2 ((a ->4 b) ->4 a)' = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))'
27 oran 87 . 2 ((((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) = ((((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a)' ^ ((a' ^ b) v (a' ^ b'))')'
2824, 26, 273tr1 63 1 ((a ->4 b) ->4 a)' = ((((a' v b) ^ (a' v b')) ^ a) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lem2  747
  Copyright terms: Public domain W3C validator