QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u4lem1 Unicode version
Theorem u4lem1 737
Description: Lemma for unified implication study.
Assertion
Ref Expression
u4lem1 ((a ->4 b) ->4 a) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
Proof of Theorem u4lem1
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . 2 ((a ->4 b) ->4 a) = ((((a ->4 b) ^ a) v ((a ->4 b)' ^ a)) v (((a ->4 b)' v a) ^ a'))
2 u4lemaa 603 . . . . 5 ((a ->4 b) ^ a) = (a ^ b)
3 u4lemnaa 643 . . . . 5 ((a ->4 b)' ^ a) = (a ^ b')
42, 32or 72 . . . 4 (((a ->4 b) ^ a) v ((a ->4 b)' ^ a)) = ((a ^ b) v (a ^ b'))
5 u4lemnoa 663 . . . . 5 ((a ->4 b)' v a) = ((a v b) ^ (a v b'))
65ran 78 . . . 4 (((a ->4 b)' v a) ^ a') = (((a v b) ^ (a v b')) ^ a')
74, 62or 72 . . 3 ((((a ->4 b) ^ a) v ((a ->4 b)' ^ a)) v (((a ->4 b)' v a) ^ a')) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v (((a v b) ^ (a v b')) ^ a'))
8 ancom 74 . . . . 5 (((a v b) ^ (a v b')) ^ a') = (a' ^ ((a v b) ^ (a v b')))
98lor 70 . . . 4 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (((a v b) ^ (a v b')) ^ a')) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' ^ ((a v b) ^ (a v b'))))
10 comanr1 464 . . . . . . . 8 a C (a ^ b)
11 comanr1 464 . . . . . . . 8 a C (a ^ b')
1210, 11com2or 483 . . . . . . 7 a C ((a ^ b) v (a ^ b'))
1312comcom3 454 . . . . . 6 a' C ((a ^ b) v (a ^ b'))
14 comorr 184 . . . . . . . 8 a C (a v b)
15 comorr 184 . . . . . . . 8 a C (a v b')
1614, 15com2an 484 . . . . . . 7 a C ((a v b) ^ (a v b'))
1716comcom3 454 . . . . . 6 a' C ((a v b) ^ (a v b'))
1813, 17fh4 472 . . . . 5 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' ^ ((a v b) ^ (a v b')))) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b) ^ (a v b'))))
19 comor1 461 . . . . . . . . . . 11 (a v b) C a
20 comor2 462 . . . . . . . . . . 11 (a v b) C b
2119, 20com2an 484 . . . . . . . . . 10 (a v b) C (a ^ b)
2220comcom2 183 . . . . . . . . . . 11 (a v b) C b'
2319, 22com2an 484 . . . . . . . . . 10 (a v b) C (a ^ b')
2421, 23com2or 483 . . . . . . . . 9 (a v b) C ((a ^ b) v (a ^ b'))
2519, 22com2or 483 . . . . . . . . 9 (a v b) C (a v b')
2624, 25fh4 472 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b) ^ (a v b'))) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v (a v b)) ^ (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a v b')))
27 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b) =< a
28 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b') =< a
2927, 28lel2or 170 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ b) v (a ^ b')) =< a
30 leo 158 . . . . . . . . . . 11 a =< (a v b)
3129, 30letr 137 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a ^ b')) =< (a v b)
3231df-le2 131 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a v b)) = (a v b)
33 leo 158 . . . . . . . . . . 11 a =< (a v b')
3429, 33letr 137 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a ^ b')) =< (a v b')
3534df-le2 131 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a v b')) = (a v b')
3632, 352an 79 . . . . . . . 8 ((((a ^ b) v (a ^ b')) v (a v b)) ^ (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a v b'))) = ((a v b) ^ (a v b'))
3726, 36ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b) ^ (a v b'))) = ((a v b) ^ (a v b'))
3837lan 77 . . . . . 6 ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b) ^ (a v b')))) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
39 id 59 . . . . . 6 ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b'))) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
4038, 39ax-r2 36 . . . . 5 ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b) ^ (a v b')))) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
4118, 40ax-r2 36 . . . 4 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (a' ^ ((a v b) ^ (a v b')))) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
429, 41ax-r2 36 . . 3 (((a ^ b) v (a ^ b')) v (((a v b) ^ (a v b')) ^ a')) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
437, 42ax-r2 36 . 2 ((((a ->4 b) ^ a) v ((a ->4 b)' ^ a)) v (((a ->4 b)' v a) ^ a')) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
441, 43ax-r2 36 1 ((a ->4 b) ->4 a) = ((((a ^ b) v (a ^ b')) v a') ^ ((a v b) ^ (a v b')))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  u4lem1n  742
  Copyright terms: Public domain W3C validator