QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud3lem1d Unicode version
Theorem ud3lem1d 569
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud3lem1d ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (b ->3 a))) = ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))
Proof of Theorem ud3lem1d
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
2 ud3lem1c 568 . . 3 ((a ->3 b)' v (b ->3 a)) = (a v b')
31, 22an 79 . 2 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (b ->3 a))) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ (a v b'))
4 comor1 461 . . . . . . 7 (a v b') C a
54comcom2 183 . . . . . 6 (a v b') C a'
6 comor2 462 . . . . . . 7 (a v b') C b'
76comcom7 460 . . . . . 6 (a v b') C b
85, 7com2an 484 . . . . 5 (a v b') C (a' ^ b)
95, 6com2an 484 . . . . 5 (a v b') C (a' ^ b')
108, 9com2or 483 . . . 4 (a v b') C ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
115, 7com2or 483 . . . . 5 (a v b') C (a' v b)
124, 11com2an 484 . . . 4 (a v b') C (a ^ (a' v b))
1310, 12fh1r 473 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ (a v b')) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b')) v ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b')))
148, 9fh1r 473 . . . . 5 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b')) = (((a' ^ b) ^ (a v b')) v ((a' ^ b') ^ (a v b')))
15 an32 83 . . . . . 6 ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b')) = ((a ^ (a v b')) ^ (a' v b))
16 anabs 121 . . . . . . 7 (a ^ (a v b')) = a
1716ran 78 . . . . . 6 ((a ^ (a v b')) ^ (a' v b)) = (a ^ (a' v b))
1815, 17ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b')) = (a ^ (a' v b))
1914, 182or 72 . . . 4 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b')) v ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b'))) = ((((a' ^ b) ^ (a v b')) v ((a' ^ b') ^ (a v b'))) v (a ^ (a' v b)))
20 ancom 74 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ (a v b')) = ((a v b') ^ (a' ^ b))
21 anor2 89 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b) = (a v b')'
2221lan 77 . . . . . . . . 9 ((a v b') ^ (a' ^ b)) = ((a v b') ^ (a v b')')
23 dff 101 . . . . . . . . . 10 0 = ((a v b') ^ (a v b')')
2423ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a v b') ^ (a v b')') = 0
2522, 24ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a v b') ^ (a' ^ b)) = 0
2620, 25ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' ^ b) ^ (a v b')) = 0
27 lear 161 . . . . . . . . 9 (a' ^ b') =< b'
28 leor 159 . . . . . . . . 9 b' =< (a v b')
2927, 28letr 137 . . . . . . . 8 (a' ^ b') =< (a v b')
3029df2le2 136 . . . . . . 7 ((a' ^ b') ^ (a v b')) = (a' ^ b')
3126, 302or 72 . . . . . 6 (((a' ^ b) ^ (a v b')) v ((a' ^ b') ^ (a v b'))) = (0 v (a' ^ b'))
32 or0r 103 . . . . . 6 (0 v (a' ^ b')) = (a' ^ b')
3331, 32ax-r2 36 . . . . 5 (((a' ^ b) ^ (a v b')) v ((a' ^ b') ^ (a v b'))) = (a' ^ b')
3433ax-r5 38 . . . 4 ((((a' ^ b) ^ (a v b')) v ((a' ^ b') ^ (a v b'))) v (a ^ (a' v b))) = ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))
3519, 34ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b')) v ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b'))) = ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))
3613, 35ax-r2 36 . 2 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ (a v b')) = ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))
373, 36ax-r2 36 1 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (b ->3 a))) = ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud3lem1  570
  Copyright terms: Public domain W3C validator