QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud3lem1 Unicode version
Theorem ud3lem1 570
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud3lem1 ((a ->3 b) ->3 (b ->3 a)) = (a v (a' ^ b'))
Proof of Theorem ud3lem1
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . 2 ((a ->3 b) ->3 (b ->3 a)) = ((((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)) v ((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)')) v ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (b ->3 a))))
2 ud3lem1a 566 . . . . . 6 ((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)) = (a ^ b')
3 ud3lem1b 567 . . . . . 6 ((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)') = 0
42, 32or 72 . . . . 5 (((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)) v ((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)')) = ((a ^ b') v 0)
5 or0 102 . . . . 5 ((a ^ b') v 0) = (a ^ b')
64, 5ax-r2 36 . . . 4 (((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)) v ((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)')) = (a ^ b')
7 ud3lem1d 569 . . . 4 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (b ->3 a))) = ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))
86, 72or 72 . . 3 ((((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)) v ((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)')) v ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (b ->3 a)))) = ((a ^ b') v ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b))))
9 coman1 185 . . . . . . 7 (a ^ b') C a
109comcom2 183 . . . . . . . 8 (a ^ b') C a'
11 coman2 186 . . . . . . . . 9 (a ^ b') C b'
1211comcom7 460 . . . . . . . 8 (a ^ b') C b
1310, 12com2or 483 . . . . . . 7 (a ^ b') C (a' v b)
149, 13fh3 471 . . . . . 6 ((a ^ b') v (a ^ (a' v b))) = (((a ^ b') v a) ^ ((a ^ b') v (a' v b)))
15 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 ((a ^ b') v a) = (a v (a ^ b'))
16 orabs 120 . . . . . . . . 9 (a v (a ^ b')) = a
1715, 16ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ^ b') v a) = a
18 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 ((a ^ b') v (a' v b)) = ((a' v b) v (a ^ b'))
19 anor1 88 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b') = (a' v b)'
2019lor 70 . . . . . . . . . 10 ((a' v b) v (a ^ b')) = ((a' v b) v (a' v b)')
21 df-t 41 . . . . . . . . . . 11 1 = ((a' v b) v (a' v b)')
2221ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 ((a' v b) v (a' v b)') = 1
2320, 22ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((a' v b) v (a ^ b')) = 1
2418, 23ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a ^ b') v (a' v b)) = 1
2517, 242an 79 . . . . . . 7 (((a ^ b') v a) ^ ((a ^ b') v (a' v b))) = (a ^ 1)
26 an1 106 . . . . . . 7 (a ^ 1) = a
2725, 26ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ^ b') v a) ^ ((a ^ b') v (a' v b))) = a
2814, 27ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ b') v (a ^ (a' v b))) = a
2928lor 70 . . . 4 ((a' ^ b') v ((a ^ b') v (a ^ (a' v b)))) = ((a' ^ b') v a)
30 or12 80 . . . 4 ((a ^ b') v ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))) = ((a' ^ b') v ((a ^ b') v (a ^ (a' v b))))
31 ax-a2 31 . . . 4 (a v (a' ^ b')) = ((a' ^ b') v a)
3229, 30, 313tr1 63 . . 3 ((a ^ b') v ((a' ^ b') v (a ^ (a' v b)))) = (a v (a' ^ b'))
338, 32ax-r2 36 . 2 ((((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)) v ((a ->3 b)' ^ (b ->3 a)')) v ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (b ->3 a)))) = (a v (a' ^ b'))
341, 33ax-r2 36 1 ((a ->3 b) ->3 (b ->3 a)) = (a v (a' ^ b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud3  597  u3lem11a  787
  Copyright terms: Public domain W3C validator