QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud3lem2 Unicode version
Theorem ud3lem2 571
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud3lem2 ((a v (a' ^ b')) ->3 a) = (a v b)
Proof of Theorem ud3lem2
StepHypRef Expression
1 oran 87 . . . . . . 7 (a v b) = (a' ^ b')'
21ax-r1 35 . . . . . 6 (a' ^ b')' = (a v b)
32con3 68 . . . . 5 (a' ^ b') = (a v b)'
43lor 70 . . . 4 (a v (a' ^ b')) = (a v (a v b)')
5 anor2 89 . . . . . 6 (a' ^ (a v b)) = (a v (a v b)')'
65ax-r1 35 . . . . 5 (a v (a v b)')' = (a' ^ (a v b))
76con3 68 . . . 4 (a v (a v b)') = (a' ^ (a v b))'
84, 7ax-r2 36 . . 3 (a v (a' ^ b')) = (a' ^ (a v b))'
98ud3lem0b 261 . 2 ((a v (a' ^ b')) ->3 a) = ((a' ^ (a v b))' ->3 a)
10 df-i3 46 . . 3 ((a' ^ (a v b))' ->3 a) = ((((a' ^ (a v b))'' ^ a) v ((a' ^ (a v b))'' ^ a')) v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a)))
11 ax-a3 32 . . . 4 ((((a' ^ (a v b))'' ^ a) v ((a' ^ (a v b))'' ^ a')) v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))) = (((a' ^ (a v b))'' ^ a) v (((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))))
12 ax-a2 31 . . . . 5 (((a' ^ (a v b))'' ^ a) v (((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a)))) = ((((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))) v ((a' ^ (a v b))'' ^ a))
13 ax-a1 30 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ (a v b)) = (a' ^ (a v b))''
1413ran 78 . . . . . . . . . . . 12 ((a' ^ (a v b)) ^ a') = ((a' ^ (a v b))'' ^ a')
1514ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ (a v b))'' ^ a') = ((a' ^ (a v b)) ^ a')
16 an32 83 . . . . . . . . . . . 12 ((a' ^ (a v b)) ^ a') = ((a' ^ a') ^ (a v b))
17 anidm 111 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ a') = a'
1817ran 78 . . . . . . . . . . . 12 ((a' ^ a') ^ (a v b)) = (a' ^ (a v b))
1916, 18ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ (a v b)) ^ a') = (a' ^ (a v b))
2015, 19ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ (a v b))'' ^ a') = (a' ^ (a v b))
2113ax-r5 38 . . . . . . . . . . . . 13 ((a' ^ (a v b)) v a) = ((a' ^ (a v b))'' v a)
227, 212an 79 . . . . . . . . . . . 12 ((a v (a v b)') ^ ((a' ^ (a v b)) v a)) = ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))
2322ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a)) = ((a v (a v b)') ^ ((a' ^ (a v b)) v a))
24 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((a' ^ (a v b)) v a) = (a v (a' ^ (a v b)))
25 oml 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (a v (a' ^ (a v b))) = (a v b)
2624, 25ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . 13 ((a' ^ (a v b)) v a) = (a v b)
2726lan 77 . . . . . . . . . . . 12 ((a v (a v b)') ^ ((a' ^ (a v b)) v a)) = ((a v (a v b)') ^ (a v b))
28 comorr 184 . . . . . . . . . . . . . 14 a C (a v b)
2928comcom2 183 . . . . . . . . . . . . . 14 a C (a v b)'
3028, 29fh2r 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((a v (a v b)') ^ (a v b)) = ((a ^ (a v b)) v ((a v b)' ^ (a v b)))
31 anabs 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (a ^ (a v b)) = a
32 ancom 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((a v b)' ^ (a v b)) = ((a v b) ^ (a v b)')
33 dff 101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = ((a v b) ^ (a v b)')
3433ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((a v b) ^ (a v b)') = 0
3532, 34ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((a v b)' ^ (a v b)) = 0
3631, 352or 72 . . . . . . . . . . . . . 14 ((a ^ (a v b)) v ((a v b)' ^ (a v b))) = (a v 0)
37 or0 102 . . . . . . . . . . . . . 14 (a v 0) = a
3836, 37ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . 13 ((a ^ (a v b)) v ((a v b)' ^ (a v b))) = a
3930, 38ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 ((a v (a v b)') ^ (a v b)) = a
4027, 39ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a v (a v b)') ^ ((a' ^ (a v b)) v a)) = a
4123, 40ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a)) = a
4220, 412or 72 . . . . . . . . 9 (((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))) = ((a' ^ (a v b)) v a)
4342, 24ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))) = (a v (a' ^ (a v b)))
4443, 25ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))) = (a v b)
45 ancom 74 . . . . . . . 8 ((a' ^ (a v b))'' ^ a) = (a ^ (a' ^ (a v b))'')
4613lan 77 . . . . . . . . . 10 (a ^ (a' ^ (a v b))) = (a ^ (a' ^ (a v b))'')
4746ax-r1 35 . . . . . . . . 9 (a ^ (a' ^ (a v b))'') = (a ^ (a' ^ (a v b)))
48 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ (a v b)) = (a ^ (a' ^ (a v b)))
4948ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a ^ (a' ^ (a v b))) = ((a ^ a') ^ (a v b))
50 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ (a v b)) = ((a v b) ^ (a ^ a'))
51 dff 101 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (a ^ a')
5251lan 77 . . . . . . . . . . . . 13 ((a v b) ^ 0) = ((a v b) ^ (a ^ a'))
5352ax-r1 35 . . . . . . . . . . . 12 ((a v b) ^ (a ^ a')) = ((a v b) ^ 0)
54 an0 108 . . . . . . . . . . . 12 ((a v b) ^ 0) = 0
5553, 54ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a v b) ^ (a ^ a')) = 0
5650, 55ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a ^ a') ^ (a v b)) = 0
5749, 56ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a ^ (a' ^ (a v b))) = 0
5847, 57ax-r2 36 . . . . . . . 8 (a ^ (a' ^ (a v b))'') = 0
5945, 58ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' ^ (a v b))'' ^ a) = 0
6044, 592or 72 . . . . . 6 ((((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))) v ((a' ^ (a v b))'' ^ a)) = ((a v b) v 0)
61 or0 102 . . . . . 6 ((a v b) v 0) = (a v b)
6260, 61ax-r2 36 . . . . 5 ((((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))) v ((a' ^ (a v b))'' ^ a)) = (a v b)
6312, 62ax-r2 36 . . . 4 (((a' ^ (a v b))'' ^ a) v (((a' ^ (a v b))'' ^ a') v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a)))) = (a v b)
6411, 63ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ (a v b))'' ^ a) v ((a' ^ (a v b))'' ^ a')) v ((a' ^ (a v b))' ^ ((a' ^ (a v b))'' v a))) = (a v b)
6510, 64ax-r2 36 . 2 ((a' ^ (a v b))' ->3 a) = (a v b)
669, 65ax-r2 36 1 ((a v (a' ^ b')) ->3 a) = (a v b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud3  597
  Copyright terms: Public domain W3C validator