QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud3lem3d Unicode version
Theorem ud3lem3d 575
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud3lem3d ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (a v b))) = ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b)))
Proof of Theorem ud3lem3d
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
2 ud3lem3c 574 . . 3 ((a ->3 b)' v (a v b)) = (a v b)
31, 22an 79 . 2 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (a v b))) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ (a v b))
4 comor1 461 . . . . . . 7 (a v b) C a
54comcom2 183 . . . . . 6 (a v b) C a'
6 comor2 462 . . . . . 6 (a v b) C b
75, 6com2an 484 . . . . 5 (a v b) C (a' ^ b)
86comcom2 183 . . . . . 6 (a v b) C b'
95, 8com2an 484 . . . . 5 (a v b) C (a' ^ b')
107, 9com2or 483 . . . 4 (a v b) C ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
115, 6com2or 483 . . . . 5 (a v b) C (a' v b)
124, 11com2an 484 . . . 4 (a v b) C (a ^ (a' v b))
1310, 12fh1r 473 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ (a v b)) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b)) v ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b)))
14 coman1 185 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) C a'
1514comcom7 460 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C a
16 coman2 186 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C b
1715, 16com2or 483 . . . . . . 7 (a' ^ b) C (a v b)
1816comcom2 183 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C b'
1914, 18com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b) C (a' ^ b')
2017, 19fh2r 474 . . . . . 6 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b)) = (((a' ^ b) ^ (a v b)) v ((a' ^ b') ^ (a v b)))
21 lear 161 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b) =< b
22 leor 159 . . . . . . . . . 10 b =< (a v b)
2321, 22letr 137 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) =< (a v b)
2423df2le2 136 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ (a v b)) = (a' ^ b)
25 oran 87 . . . . . . . . . 10 (a v b) = (a' ^ b')'
2625lan 77 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b') ^ (a v b)) = ((a' ^ b') ^ (a' ^ b')')
27 dff 101 . . . . . . . . . 10 0 = ((a' ^ b') ^ (a' ^ b')')
2827ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b') ^ (a' ^ b')') = 0
2926, 28ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ (a v b)) = 0
3024, 292or 72 . . . . . . 7 (((a' ^ b) ^ (a v b)) v ((a' ^ b') ^ (a v b))) = ((a' ^ b) v 0)
31 or0 102 . . . . . . 7 ((a' ^ b) v 0) = (a' ^ b)
3230, 31ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' ^ b) ^ (a v b)) v ((a' ^ b') ^ (a v b))) = (a' ^ b)
3320, 32ax-r2 36 . . . . 5 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b)) = (a' ^ b)
3433ax-r5 38 . . . 4 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b)) v ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b))) = ((a' ^ b) v ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b)))
35 lea 160 . . . . . . 7 (a ^ (a' v b)) =< a
36 leo 158 . . . . . . 7 a =< (a v b)
3735, 36letr 137 . . . . . 6 (a ^ (a' v b)) =< (a v b)
3837df2le2 136 . . . . 5 ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b)) = (a ^ (a' v b))
3938lor 70 . . . 4 ((a' ^ b) v ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b))) = ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b)))
4034, 39ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ (a v b)) v ((a ^ (a' v b)) ^ (a v b))) = ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b)))
4113, 40ax-r2 36 . 2 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ (a v b)) = ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b)))
423, 41ax-r2 36 1 ((a ->3 b) ^ ((a ->3 b)' v (a v b))) = ((a' ^ b) v (a ^ (a' v b)))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud3lem3  576
  Copyright terms: Public domain W3C validator