QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud4lem1a Unicode version
Theorem ud4lem1a 577
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud4lem1a ((a ->4 b) ^ (b ->4 a)) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
Proof of Theorem ud4lem1a
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . . 3 (a ->4 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b'))
2 df-i4 47 . . 3 (b ->4 a) = (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))
31, 22an 79 . 2 ((a ->4 b) ^ (b ->4 a)) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a')))
4 coman2 186 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) C b
54comcom 453 . . . . . . . . 9 b C (a ^ b)
6 coman2 186 . . . . . . . . . 10 (a' ^ b) C b
76comcom 453 . . . . . . . . 9 b C (a' ^ b)
85, 7com2or 483 . . . . . . . 8 b C ((a ^ b) v (a' ^ b))
98comcom 453 . . . . . . 7 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C b
10 coman1 185 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) C a
1110comcom 453 . . . . . . . . 9 a C (a ^ b)
12 coman1 185 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ b) C a'
1312comcom 453 . . . . . . . . . . 11 a' C (a' ^ b)
1413comcom2 183 . . . . . . . . . 10 a' C (a' ^ b)'
1514comcom5 458 . . . . . . . . 9 a C (a' ^ b)
1611, 15com2or 483 . . . . . . . 8 a C ((a ^ b) v (a' ^ b))
1716comcom 453 . . . . . . 7 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C a
189, 17com2an 484 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (b ^ a)
195comcom3 454 . . . . . . . . 9 b' C (a ^ b)
207comcom3 454 . . . . . . . . 9 b' C (a' ^ b)
2119, 20com2or 483 . . . . . . . 8 b' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
2221comcom 453 . . . . . . 7 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C b'
2322, 17com2an 484 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (b' ^ a)
2418, 23com2or 483 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C ((b ^ a) v (b' ^ a))
2522, 17com2or 483 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (b' v a)
2611comcom3 454 . . . . . . . 8 a' C (a ^ b)
2726, 13com2or 483 . . . . . . 7 a' C ((a ^ b) v (a' ^ b))
2827comcom 453 . . . . . 6 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C a'
2925, 28com2an 484 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C ((b' v a) ^ a')
3024, 29com2or 483 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))
3128, 9com2or 483 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (a' v b)
329comcom2 183 . . . . 5 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C b'
3331, 32com2an 484 . . . 4 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C ((a' v b) ^ b')
3430, 33fh2r 474 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) v (((a' v b) ^ b') ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))))
35 ancom 74 . . . . . . . . 9 (b ^ a) = (a ^ b)
36 ancom 74 . . . . . . . . 9 (b' ^ a) = (a ^ b')
3735, 362or 72 . . . . . . . 8 ((b ^ a) v (b' ^ a)) = ((a ^ b) v (a ^ b'))
38 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (b' v a) = (a v b')
3938ran 78 . . . . . . . 8 ((b' v a) ^ a') = ((a v b') ^ a')
4037, 392or 72 . . . . . . 7 (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a')) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b') ^ a'))
4140lan 77 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b') ^ a')))
4217, 9com2an 484 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (a ^ b)
4317, 22com2an 484 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (a ^ b')
4442, 43com2or 483 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C ((a ^ b) v (a ^ b'))
4517, 32com2or 483 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C (a v b')
4645, 28com2an 484 . . . . . . . 8 ((a ^ b) v (a' ^ b)) C ((a v b') ^ a')
4744, 46fh1 469 . . . . . . 7 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b') ^ a'))) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))) v (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ ((a v b') ^ a')))
48 an4 86 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ b) ^ (a ^ b')) = ((a' ^ a) ^ (b ^ b'))
49 dff 101 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (b ^ b')
5049ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . 13 (b ^ b') = 0
5150lan 77 . . . . . . . . . . . 12 ((a' ^ a) ^ (b ^ b')) = ((a' ^ a) ^ 0)
52 an0 108 . . . . . . . . . . . 12 ((a' ^ a) ^ 0) = 0
5351, 52ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ a) ^ (b ^ b')) = 0
5448, 53ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b) ^ (a ^ b')) = 0
5554lor 70 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b'))) = ((a ^ b) v 0)
5610comcom2 183 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b) C a'
5756, 4com2an 484 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) C (a' ^ b)
584comcom2 183 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b) C b'
5910, 58com2an 484 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) C (a ^ b')
6057, 59fh3 471 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v ((a' ^ b) ^ (a ^ b'))) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ ((a ^ b) v (a ^ b')))
61 or0 102 . . . . . . . . 9 ((a ^ b) v 0) = (a ^ b)
6255, 60, 613tr2 64 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))) = (a ^ b)
6310, 58com2or 483 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b) C (a v b')
6463, 56com2an 484 . . . . . . . . . 10 (a ^ b) C ((a v b') ^ a')
6564, 57fh2r 474 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ ((a v b') ^ a')) = (((a ^ b) ^ ((a v b') ^ a')) v ((a' ^ b) ^ ((a v b') ^ a')))
66 an12 81 . . . . . . . . . . . 12 ((a ^ b) ^ ((a v b') ^ a')) = ((a v b') ^ ((a ^ b) ^ a'))
67 an32 83 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((a ^ b) ^ a') = ((a ^ a') ^ b)
68 ancom 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((a ^ a') ^ b) = (b ^ (a ^ a'))
69 dff 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (a ^ a')
7069ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (a ^ a') = 0
7170lan 77 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (b ^ (a ^ a')) = (b ^ 0)
72 an0 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (b ^ 0) = 0
7371, 72ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (b ^ (a ^ a')) = 0
7468, 73ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((a ^ a') ^ b) = 0
7567, 74ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . 14 ((a ^ b) ^ a') = 0
7675lan 77 . . . . . . . . . . . . 13 ((a v b') ^ ((a ^ b) ^ a')) = ((a v b') ^ 0)
77 an0 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((a v b') ^ 0) = 0
7876, 77ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 ((a v b') ^ ((a ^ b) ^ a')) = 0
7966, 78ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ b) ^ ((a v b') ^ a')) = 0
80 ancom 74 . . . . . . . . . . . 12 (((a' ^ b) ^ (a v b')) ^ a') = (a' ^ ((a' ^ b) ^ (a v b')))
81 anass 76 . . . . . . . . . . . 12 (((a' ^ b) ^ (a v b')) ^ a') = ((a' ^ b) ^ ((a v b') ^ a'))
82 anor2 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (a' ^ b) = (a v b')'
8382ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (a v b')' = (a' ^ b)
8483con3 68 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (a v b') = (a' ^ b)'
8584lan 77 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((a' ^ b) ^ (a v b')) = ((a' ^ b) ^ (a' ^ b)')
86 dff 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = ((a' ^ b) ^ (a' ^ b)')
8786ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((a' ^ b) ^ (a' ^ b)') = 0
8885, 87ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . 14 ((a' ^ b) ^ (a v b')) = 0
8988lan 77 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ ((a' ^ b) ^ (a v b'))) = (a' ^ 0)
90 an0 108 . . . . . . . . . . . . 13 (a' ^ 0) = 0
9189, 90ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 (a' ^ ((a' ^ b) ^ (a v b'))) = 0
9280, 81, 913tr2 64 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ b) ^ ((a v b') ^ a')) = 0
9379, 922or 72 . . . . . . . . . 10 (((a ^ b) ^ ((a v b') ^ a')) v ((a' ^ b) ^ ((a v b') ^ a'))) = (0 v 0)
94 or0 102 . . . . . . . . . 10 (0 v 0) = 0
9593, 94ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) ^ ((a v b') ^ a')) v ((a' ^ b) ^ ((a v b') ^ a'))) = 0
9665, 95ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ ((a v b') ^ a')) = 0
9762, 962or 72 . . . . . . 7 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ ((a ^ b) v (a ^ b'))) v (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ ((a v b') ^ a'))) = ((a ^ b) v 0)
9847, 97ax-r2 36 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a v b') ^ a'))) = ((a ^ b) v 0)
9941, 98ax-r2 36 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) = ((a ^ b) v 0)
10099, 61ax-r2 36 . . . 4 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) = (a ^ b)
101 coman2 186 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ a) C a
102101comcom 453 . . . . . . . . . . 11 a C (b ^ a)
103 coman2 186 . . . . . . . . . . . 12 (b' ^ a) C a
104103comcom 453 . . . . . . . . . . 11 a C (b' ^ a)
105102, 104com2or 483 . . . . . . . . . 10 a C ((b ^ a) v (b' ^ a))
106105comcom3 454 . . . . . . . . 9 a' C ((b ^ a) v (b' ^ a))
107106comcom 453 . . . . . . . 8 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C a'
108 coman1 185 . . . . . . . . . . 11 (b ^ a) C b
109108comcom 453 . . . . . . . . . 10 b C (b ^ a)
110 coman1 185 . . . . . . . . . . . . 13 (b' ^ a) C b'
111110comcom 453 . . . . . . . . . . . 12 b' C (b' ^ a)
112111comcom2 183 . . . . . . . . . . 11 b' C (b' ^ a)'
113112comcom5 458 . . . . . . . . . 10 b C (b' ^ a)
114109, 113com2or 483 . . . . . . . . 9 b C ((b ^ a) v (b' ^ a))
115114comcom 453 . . . . . . . 8 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C b
116107, 115com2or 483 . . . . . . 7 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C (a' v b)
117109comcom3 454 . . . . . . . . 9 b' C (b ^ a)
118117, 111com2or 483 . . . . . . . 8 b' C ((b ^ a) v (b' ^ a))
119118comcom 453 . . . . . . 7 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C b'
120116, 119com2an 484 . . . . . 6 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C ((a' v b) ^ b')
121105comcom 453 . . . . . . . 8 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C a
122119, 121com2or 483 . . . . . . 7 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C (b' v a)
123102comcom3 454 . . . . . . . . 9 a' C (b ^ a)
124104comcom3 454 . . . . . . . . 9 a' C (b' ^ a)
125123, 124com2or 483 . . . . . . . 8 a' C ((b ^ a) v (b' ^ a))
126125comcom 453 . . . . . . 7 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C a'
127122, 126com2an 484 . . . . . 6 ((b ^ a) v (b' ^ a)) C ((b' v a) ^ a')
128120, 127fh2 470 . . . . 5 (((a' v b) ^ b') ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) = ((((a' v b) ^ b') ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) v (((a' v b) ^ b') ^ ((b' v a) ^ a')))
129 lea 160 . . . . . . . . . . . . 13 (b ^ a) =< b
130129lecon 154 . . . . . . . . . . . 12 b' =< (b ^ a)'
131130lelan 167 . . . . . . . . . . 11 ((a' v b) ^ b') =< ((a' v b) ^ (b ^ a)')
132131lecon 154 . . . . . . . . . 10 ((a' v b) ^ (b ^ a)')' =< ((a' v b) ^ b')'
133132lelan 167 . . . . . . . . 9 (((a' v b) ^ b') ^ ((a' v b) ^ (b ^ a)')') =< (((a' v b) ^ b') ^ ((a' v b) ^ b')')
134 ax-a2 31 . . . . . . . . . . 11 ((b ^ a) v (b' ^ a)) = ((b' ^ a) v (b ^ a))
135 oran 87 . . . . . . . . . . . 12 ((b' ^ a) v (b ^ a)) = ((b' ^ a)' ^ (b ^ a)')'
136 anor1 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (a ^ b') = (a' v b)'
13736, 136ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . . 15 (b' ^ a) = (a' v b)'
138137con2 67 . . . . . . . . . . . . . 14 (b' ^ a)' = (a' v b)
139138ran 78 . . . . . . . . . . . . 13 ((b' ^ a)' ^ (b ^ a)') = ((a' v b) ^ (b ^ a)')
140139ax-r4 37 . . . . . . . . . . . 12 ((b' ^ a)' ^ (b ^ a)')' = ((a' v b) ^ (b ^ a)')'
141135, 140ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((b' ^ a) v (b ^ a)) = ((a' v b) ^ (b ^ a)')'
142134, 141ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((b ^ a) v (b' ^ a)) = ((a' v b) ^ (b ^ a)')'
143142lan 77 . . . . . . . . 9 (((a' v b) ^ b') ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) = (((a' v b) ^ b') ^ ((a' v b) ^ (b ^ a)')')
144 dff 101 . . . . . . . . 9 0 = (((a' v b) ^ b') ^ ((a' v b) ^ b')')
145133, 143, 144le3tr1 140 . . . . . . . 8 (((a' v b) ^ b') ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) =< 0
146 le0 147 . . . . . . . 8 0 =< (((a' v b) ^ b') ^ ((b ^ a) v (b' ^ a)))
147145, 146lebi 145 . . . . . . 7 (((a' v b) ^ b') ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) = 0
148 an4 86 . . . . . . . 8 (((a' v b) ^ b') ^ ((b' v a) ^ a')) = (((a' v b) ^ (b' v a)) ^ (b' ^ a'))
149 ancom 74 . . . . . . . . . 10 (((a' v b) ^ (b' v a)) ^ (b' ^ a')) = ((b' ^ a') ^ ((a' v b) ^ (b' v a)))
150 ancom 74 . . . . . . . . . . . 12 ((a' v b) ^ (b' v a)) = ((b' v a) ^ (a' v b))
151150lan 77 . . . . . . . . . . 11 ((b' ^ a') ^ ((a' v b) ^ (b' v a))) = ((b' ^ a') ^ ((b' v a) ^ (a' v b)))
152 leo 158 . . . . . . . . . . . . 13 b' =< (b' v a)
153 leo 158 . . . . . . . . . . . . 13 a' =< (a' v b)
154152, 153le2an 169 . . . . . . . . . . . 12 (b' ^ a') =< ((b' v a) ^ (a' v b))
155154df2le2 136 . . . . . . . . . . 11 ((b' ^ a') ^ ((b' v a) ^ (a' v b))) = (b' ^ a')
156151, 155ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((b' ^ a') ^ ((a' v b) ^ (b' v a))) = (b' ^ a')
157149, 156ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (((a' v b) ^ (b' v a)) ^ (b' ^ a')) = (b' ^ a')
158 ancom 74 . . . . . . . . 9 (b' ^ a') = (a' ^ b')
159157, 158ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((a' v b) ^ (b' v a)) ^ (b' ^ a')) = (a' ^ b')
160148, 159ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a' v b) ^ b') ^ ((b' v a) ^ a')) = (a' ^ b')
161147, 1602or 72 . . . . . 6 ((((a' v b) ^ b') ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) v (((a' v b) ^ b') ^ ((b' v a) ^ a'))) = (0 v (a' ^ b'))
162 ax-a2 31 . . . . . . 7 (0 v (a' ^ b')) = ((a' ^ b') v 0)
163 or0 102 . . . . . . 7 ((a' ^ b') v 0) = (a' ^ b')
164162, 163ax-r2 36 . . . . . 6 (0 v (a' ^ b')) = (a' ^ b')
165161, 164ax-r2 36 . . . . 5 ((((a' v b) ^ b') ^ ((b ^ a) v (b' ^ a))) v (((a' v b) ^ b') ^ ((b' v a) ^ a'))) = (a' ^ b')
166128, 165ax-r2 36 . . . 4 (((a' v b) ^ b') ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) = (a' ^ b')
167100, 1662or 72 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) v (((a' v b) ^ b') ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a')))) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
16834, 167ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v ((a' v b) ^ b')) ^ (((b ^ a) v (b' ^ a)) v ((b' v a) ^ a'))) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
1693, 168ax-r2 36 1 ((a ->4 b) ^ (b ->4 a)) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud4lem1  581  u4lembi  724
  Copyright terms: Public domain W3C validator