QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud4lem1 Unicode version
Theorem ud4lem1 581
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud4lem1 ((a ->4 b) ->4 (b ->4 a)) = (a v (a' ^ b'))
Proof of Theorem ud4lem1
StepHypRef Expression
1 df-i4 47 . 2 ((a ->4 b) ->4 (b ->4 a)) = ((((a ->4 b) ^ (b ->4 a)) v ((a ->4 b)' ^ (b ->4 a))) v (((a ->4 b)' v (b ->4 a)) ^ (b ->4 a)'))
2 ud4lem1a 577 . . . . 5 ((a ->4 b) ^ (b ->4 a)) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
3 ud4lem1b 578 . . . . 5 ((a ->4 b)' ^ (b ->4 a)) = (a ^ b')
42, 32or 72 . . . 4 (((a ->4 b) ^ (b ->4 a)) v ((a ->4 b)' ^ (b ->4 a))) = (((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b'))
5 ud4lem1d 580 . . . 4 (((a ->4 b)' v (b ->4 a)) ^ (b ->4 a)') = (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a)
64, 52or 72 . . 3 ((((a ->4 b) ^ (b ->4 a)) v ((a ->4 b)' ^ (b ->4 a))) v (((a ->4 b)' v (b ->4 a)) ^ (b ->4 a)')) = ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a))
7 ancom 74 . . . . . 6 (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a) = (a ^ ((a' v b') ^ (a' v b)))
87lor 70 . . . . 5 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a)) = ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a ^ ((a' v b') ^ (a' v b))))
9 coman1 185 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b) C a
109comcom 453 . . . . . . . . . . 11 a C (a ^ b)
1110comcom3 454 . . . . . . . . . 10 a' C (a ^ b)
12 coman1 185 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b') C a'
1312comcom 453 . . . . . . . . . 10 a' C (a' ^ b')
1411, 13com2or 483 . . . . . . . . 9 a' C ((a ^ b) v (a' ^ b'))
15 coman1 185 . . . . . . . . . . 11 (a ^ b') C a
1615comcom 453 . . . . . . . . . 10 a C (a ^ b')
1716comcom3 454 . . . . . . . . 9 a' C (a ^ b')
1814, 17com2or 483 . . . . . . . 8 a' C (((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b'))
1918comcom2 183 . . . . . . 7 a' C (((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b'))'
2019comcom5 458 . . . . . 6 a C (((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b'))
21 comorr 184 . . . . . . . . 9 a' C (a' v b')
22 comorr 184 . . . . . . . . 9 a' C (a' v b)
2321, 22com2an 484 . . . . . . . 8 a' C ((a' v b') ^ (a' v b))
2423comcom2 183 . . . . . . 7 a' C ((a' v b') ^ (a' v b))'
2524comcom5 458 . . . . . 6 a C ((a' v b') ^ (a' v b))
2620, 25fh4 472 . . . . 5 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a ^ ((a' v b') ^ (a' v b)))) = (((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v a) ^ ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v ((a' v b') ^ (a' v b))))
278, 26ax-r2 36 . . . 4 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a)) = (((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v a) ^ ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v ((a' v b') ^ (a' v b))))
28 ax-a3 32 . . . . . . . 8 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v a) = (((a ^ b) v (a' ^ b')) v ((a ^ b') v a))
29 or4 84 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a' ^ b')) v ((a ^ b') v a)) = (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b') v a))
30 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b) =< a
31 lea 160 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b') =< a
3230, 31lel2or 170 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ b) v (a ^ b')) =< a
33 leor 159 . . . . . . . . . . 11 a =< ((a' ^ b') v a)
3432, 33letr 137 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a ^ b')) =< ((a' ^ b') v a)
3534df-le2 131 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a ^ b')) v ((a' ^ b') v a)) = ((a' ^ b') v a)
3629, 35ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a' ^ b')) v ((a ^ b') v a)) = ((a' ^ b') v a)
3728, 36ax-r2 36 . . . . . . 7 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v a) = ((a' ^ b') v a)
38 ax-a2 31 . . . . . . 7 ((a' ^ b') v a) = (a v (a' ^ b'))
3937, 38ax-r2 36 . . . . . 6 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v a) = (a v (a' ^ b'))
409comcom2 183 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ b) C a'
41 coman2 186 . . . . . . . . . . . . . 14 (a ^ b) C b
4241comcom2 183 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ b) C b'
4340, 42com2or 483 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b) C (a' v b')
4443comcom 453 . . . . . . . . . . 11 (a' v b') C (a ^ b)
45 comor1 461 . . . . . . . . . . . 12 (a' v b') C a'
46 comor2 462 . . . . . . . . . . . 12 (a' v b') C b'
4745, 46com2an 484 . . . . . . . . . . 11 (a' v b') C (a' ^ b')
4844, 47com2or 483 . . . . . . . . . 10 (a' v b') C ((a ^ b) v (a' ^ b'))
4945comcom3 454 . . . . . . . . . . . 12 (a' v b')' C a'
5049comcom5 458 . . . . . . . . . . 11 (a' v b') C a
5150, 46com2an 484 . . . . . . . . . 10 (a' v b') C (a ^ b')
5248, 51com2or 483 . . . . . . . . 9 (a' v b') C (((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b'))
5346comcom3 454 . . . . . . . . . . 11 (a' v b')' C b'
5453comcom5 458 . . . . . . . . . 10 (a' v b') C b
5545, 54com2or 483 . . . . . . . . 9 (a' v b') C (a' v b)
5652, 55fh4 472 . . . . . . . 8 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v ((a' v b') ^ (a' v b))) = (((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a' v b')) ^ ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a' v b)))
57 or32 82 . . . . . . . . . 10 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a' v b')) = ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v b')) v (a ^ b'))
58 or32 82 . . . . . . . . . . . . 13 (((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v b')) = (((a ^ b) v (a' v b')) v (a' ^ b'))
59 df-a 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (a ^ b) = (a' v b')'
6059con2 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (a ^ b)' = (a' v b')
6160ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (a' v b') = (a ^ b)'
6261lor 70 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((a ^ b) v (a' v b')) = ((a ^ b) v (a ^ b)')
63 df-t 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = ((a ^ b) v (a ^ b)')
6463ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((a ^ b) v (a ^ b)') = 1
6562, 64ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((a ^ b) v (a' v b')) = 1
6665ax-r5 38 . . . . . . . . . . . . . 14 (((a ^ b) v (a' v b')) v (a' ^ b')) = (1 v (a' ^ b'))
67 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 v (a' ^ b')) = ((a' ^ b') v 1)
68 or1 104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((a' ^ b') v 1) = 1
6967, 68ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 v (a' ^ b')) = 1
7066, 69ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . 13 (((a ^ b) v (a' v b')) v (a' ^ b')) = 1
7158, 70ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 (((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v b')) = 1
7271ax-r5 38 . . . . . . . . . . 11 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v b')) v (a ^ b')) = (1 v (a ^ b'))
73 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . 12 (1 v (a ^ b')) = ((a ^ b') v 1)
74 or1 104 . . . . . . . . . . . 12 ((a ^ b') v 1) = 1
7573, 74ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (1 v (a ^ b')) = 1
7672, 75ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v b')) v (a ^ b')) = 1
7757, 76ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a' v b')) = 1
78 ax-a3 32 . . . . . . . . . 10 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a' v b)) = (((a ^ b) v (a' ^ b')) v ((a ^ b') v (a' v b)))
79 anor1 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (a ^ b') = (a' v b)'
8079lor 70 . . . . . . . . . . . . 13 ((a' v b) v (a ^ b')) = ((a' v b) v (a' v b)')
81 ax-a2 31 . . . . . . . . . . . . 13 ((a ^ b') v (a' v b)) = ((a' v b) v (a ^ b'))
82 df-t 41 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((a' v b) v (a' v b)')
8380, 81, 823tr1 63 . . . . . . . . . . . 12 ((a ^ b') v (a' v b)) = 1
8483lor 70 . . . . . . . . . . 11 (((a ^ b) v (a' ^ b')) v ((a ^ b') v (a' v b))) = (((a ^ b) v (a' ^ b')) v 1)
85 or1 104 . . . . . . . . . . 11 (((a ^ b) v (a' ^ b')) v 1) = 1
8684, 85ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (((a ^ b) v (a' ^ b')) v ((a ^ b') v (a' v b))) = 1
8778, 86ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a' v b)) = 1
8877, 872an 79 . . . . . . . 8 (((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a' v b')) ^ ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (a' v b))) = (1 ^ 1)
8956, 88ax-r2 36 . . . . . . 7 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v ((a' v b') ^ (a' v b))) = (1 ^ 1)
90 an1 106 . . . . . . 7 (1 ^ 1) = 1
9189, 90ax-r2 36 . . . . . 6 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v ((a' v b') ^ (a' v b))) = 1
9239, 912an 79 . . . . 5 (((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v a) ^ ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v ((a' v b') ^ (a' v b)))) = ((a v (a' ^ b')) ^ 1)
93 an1 106 . . . . 5 ((a v (a' ^ b')) ^ 1) = (a v (a' ^ b'))
9492, 93ax-r2 36 . . . 4 (((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v a) ^ ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v ((a' v b') ^ (a' v b)))) = (a v (a' ^ b'))
9527, 94ax-r2 36 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ b')) v (((a' v b') ^ (a' v b)) ^ a)) = (a v (a' ^ b'))
966, 95ax-r2 36 . 2 ((((a ->4 b) ^ (b ->4 a)) v ((a ->4 b)' ^ (b ->4 a))) v (((a ->4 b)' v (b ->4 a)) ^ (b ->4 a)')) = (a v (a' ^ b'))
971, 96ax-r2 36 1 ((a ->4 b) ->4 (b ->4 a)) = (a v (a' ^ b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->4 wi4 15
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i4 47  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud4  598
  Copyright terms: Public domain W3C validator