QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  woml7 Unicode version
Theorem woml7 437
Description: Variant of weakly orthomodular law.
Assertion
Ref Expression
woml7 (((a ->2 b) ^ (b ->2 a))' v (a == b)) = 1
Proof of Theorem woml7
StepHypRef Expression
1 df-i2 45 . . . . . . . 8 (a ->2 b) = (b v (a' ^ b'))
2 ax-a2 31 . . . . . . . 8 (b v (a' ^ b')) = ((a' ^ b') v b)
31, 2ax-r2 36 . . . . . . 7 (a ->2 b) = ((a' ^ b') v b)
4 df-i2 45 . . . . . . . 8 (b ->2 a) = (a v (b' ^ a'))
5 ax-a2 31 . . . . . . . 8 (a v (b' ^ a')) = ((b' ^ a') v a)
6 ancom 74 . . . . . . . . 9 (b' ^ a') = (a' ^ b')
76ax-r5 38 . . . . . . . 8 ((b' ^ a') v a) = ((a' ^ b') v a)
84, 5, 73tr 65 . . . . . . 7 (b ->2 a) = ((a' ^ b') v a)
93, 82an 79 . . . . . 6 ((a ->2 b) ^ (b ->2 a)) = (((a' ^ b') v b) ^ ((a' ^ b') v a))
10 ancom 74 . . . . . 6 (((a' ^ b') v b) ^ ((a' ^ b') v a)) = (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))
119, 10ax-r2 36 . . . . 5 ((a ->2 b) ^ (b ->2 a)) = (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))
1211ax-r4 37 . . . 4 ((a ->2 b) ^ (b ->2 a))' = (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))'
13 id 59 . . . 4 (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))' = (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))'
1412, 13ax-r2 36 . . 3 ((a ->2 b) ^ (b ->2 a))' = (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))'
15 dfb 94 . . 3 (a == b) = ((a ^ b) v (a' ^ b'))
1614, 152or 72 . 2 (((a ->2 b) ^ (b ->2 a))' v (a == b)) = ((((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))' v ((a ^ b) v (a' ^ b')))
17 1b 117 . . 3 (1 == ((((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))' v ((a ^ b) v (a' ^ b')))) = ((((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))' v ((a ^ b) v (a' ^ b')))
1817ax-r1 35 . 2 ((((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))' v ((a ^ b) v (a' ^ b'))) = (1 == ((((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))' v ((a ^ b) v (a' ^ b'))))
19 df-t 41 . . . . 5 1 = (((a ^ b) v (a' ^ b')) v ((a ^ b) v (a' ^ b'))')
20 ax-a2 31 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b')) v ((a ^ b) v (a' ^ b'))') = (((a ^ b) v (a' ^ b'))' v ((a ^ b) v (a' ^ b')))
2119, 20ax-r2 36 . . . 4 1 = (((a ^ b) v (a' ^ b'))' v ((a ^ b) v (a' ^ b')))
2221bi1 118 . . 3 (1 == (((a ^ b) v (a' ^ b'))' v ((a ^ b) v (a' ^ b')))) = 1
23 wa2 192 . . . . . 6 (((a ^ b) v (a' ^ b')) == ((a' ^ b') v (a ^ b))) = 1
24 wcoman1 413 . . . . . . . . 9 C ((a' ^ b'), a') = 1
2524wcomcom3 416 . . . . . . . 8 C ((a' ^ b')', a') = 1
2625wcomcom5 420 . . . . . . 7 C ((a' ^ b'), a) = 1
27 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 (a' ^ b') = (b' ^ a')
2827bi1 118 . . . . . . . . . 10 ((a' ^ b') == (b' ^ a')) = 1
29 wcoman1 413 . . . . . . . . . 10 C ((b' ^ a'), b') = 1
3028, 29wbctr 410 . . . . . . . . 9 C ((a' ^ b'), b') = 1
3130wcomcom3 416 . . . . . . . 8 C ((a' ^ b')', b') = 1
3231wcomcom5 420 . . . . . . 7 C ((a' ^ b'), b) = 1
3326, 32wfh3 425 . . . . . 6 (((a' ^ b') v (a ^ b)) == (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))) = 1
3423, 33wr2 371 . . . . 5 (((a ^ b) v (a' ^ b')) == (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))) = 1
3534wr4 199 . . . 4 (((a ^ b) v (a' ^ b'))' == (((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))') = 1
3635wr5-2v 366 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b'))' v ((a ^ b) v (a' ^ b'))) == ((((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))' v ((a ^ b) v (a' ^ b')))) = 1
3722, 36wr2 371 . 2 (1 == ((((a' ^ b') v a) ^ ((a' ^ b') v b))' v ((a ^ b) v (a' ^ b')))) = 1
3816, 18, 373tr 65 1 (((a ->2 b) ^ (b ->2 a))' v (a == b)) = 1
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   == tb 5   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->2 wi2 13
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-wom 361
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-le 129  df-le1 130  df-le2 131  df-cmtr 134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator