SciPy-数值计算库¶

SciPy函数库在NumPy库的基础上增加了众多的数学、科学以及工程计算中常用的库函数。例如线性代数、常微分方程数值求解、信号处理、图像处理、稀疏矩阵等等。由于其涉及的领域众多、本书没有能力对其一一的进行介绍。作为入门介绍，让我们看看如何用SciPy进行插值处理、信号滤波以及用C语言加速计算。

最小二乘拟合¶

假设有一组实验数据(x[i], y[i])，我们知道它们之间的函数关系:y = f(x)，通过这些已知信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，如果f是一个线型函数f(x) = k*x+b，那么参数k和b就是我们需要确定的值。如果将这些参数用 p 表示的话，那么我们就是要找到一组 p 值使得如下公式中的S函数最小：

$S(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^m [y_i - f(x_i, \mathbf{p}) ]^2$

这种算法被称之为最小二乘拟合(Least-square fitting)。

scipy中的子函数库optimize已经提供了实现最小二乘拟合算法的函数leastsq。下面是用leastsq进行数据拟合的一个例子：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import pylab as pl

def func(x, p):
    """
    数据拟合所用的函数: A*sin(2*pi*k*x + theta)
    """
    A, k, theta = p
    return A*np.sin(2*np.pi*k*x+theta)   

def residuals(p, y, x):
    """
    实验数据x, y和拟合函数之间的差，p为拟合需要找到的系数
    """
    return y - func(x, p)

x = np.linspace(0, -2*np.pi, 100)
A, k, theta = 10, 0.34, np.pi/6 # 真实数据的函数参数
y0 = func(x, [A, k, theta]) # 真实数据
y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x)) # 加入噪声之后的实验数据    

p0 = [7, 0.2, 0] # 第一次猜测的函数拟合参数

# 调用leastsq进行数据拟合
# residuals为计算误差的函数
# p0为拟合参数的初始值
# args为需要拟合的实验数据
plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1, x))

print u"真实参数:", [A, k, theta] 
print u"拟合参数", plsq[0] # 实验数据拟合后的参数

pl.plot(x, y0, label=u"真实数据")
pl.plot(x, y1, label=u"带噪声的实验数据")
pl.plot(x, func(x, plsq[0]), label=u"拟合数据")
pl.legend()
pl.show()

这个例子中我们要拟合的函数是一个正弦波函数，它有三个参数 A, k, theta ，分别对应振幅、频率、相角。假设我们的实验数据是一组包含噪声的数据 x, y1，其中y1是在真实数据y0的基础上加入噪声的到了。

通过leastsq函数对带噪声的实验数据x, y1进行数据拟合，可以找到x和真实数据y0之间的正弦关系的三个参数： A, k, theta。下面是程序的输出：

>>> 真实参数: [10, 0.34000000000000002, 0.52359877559829882]
>>> 拟合参数 [-9.84152775  0.33829767 -2.68899335]

调用leastsq函数对噪声正弦波数据进行曲线拟合

我们看到拟合参数虽然和真实参数完全不同，但是由于正弦函数具有周期性，实际上拟合参数得到的函数和真实参数对应的函数是一致的。

函数最小值¶

optimize库提供了几个求函数最小值的算法：fmin, fmin_powell, fmin_cg, fmin_bfgs。下面的程序通过求解卷积的逆运算演示fmin的功能。

对于一个离散的线性时不变系统h, 如果它的输入是x，那么其输出y可以用x和h的卷积表示：

$y = x * h$

现在的问题是如果已知系统的输入x和输出y，如何计算系统的传递函数h；或者如果已知系统的传递函数h和系统的输出y，如何计算系统的输入x。这种运算被称为反卷积运算，是十分困难的，特别是在实际的运用中，测量系统的输出总是存在误差的。

下面用fmin计算反卷积，这种方法只能用在很小规模的数列之上，因此没有很大的实用价值，不过用来评价fmin函数的性能还是不错的。

# -*- coding: utf-8 -*-
# 本程序用各种fmin函数求卷积的逆运算

import scipy.optimize as opt 
import numpy as np 

def test_fmin_convolve(fminfunc, x, h, y, yn, x0): 
    """
    x (*) h = y, (*)表示卷积
    yn为在y的基础上添加一些干扰噪声的结果
    x0为求解x的初始值
    """
    def convolve_func(h):
        """
        计算 yn - x (*) h 的power
        fmin将通过计算使得此power最小
        """ 
        return np.sum((yn - np.convolve(x, h))**2) 

    # 调用fmin函数，以x0为初始值
    h0 = fminfunc(convolve_func, x0) 

    print fminfunc.__name__ 
    print "---------------------" 
    # 输出 x (*) h0 和 y 之间的相对误差
    print "error of y:", np.sum((np.convolve(x, h0)-y)**2)/np.sum(y**2) 
    # 输出 h0 和 h 之间的相对误差
    print "error of h:", np.sum((h0-h)**2)/np.sum(h**2) 
    print 

def test_n(m, n, nscale): 
    """
    随机产生x, h, y, yn, x0等数列，调用各种fmin函数求解b
    m为x的长度, n为h的长度, nscale为干扰的强度
    """
    x = np.random.rand(m) 
    h = np.random.rand(n) 
    y = np.convolve(x, h) 
    yn = y + np.random.rand(len(y)) * nscale
    x0 = np.random.rand(n) 

    test_fmin_convolve(opt.fmin, x, h, y, yn, x0) 
    test_fmin_convolve(opt.fmin_powell, x, h, y, yn, x0) 
    test_fmin_convolve(opt.fmin_cg, x, h, y, yn, x0)
    test_fmin_convolve(opt.fmin_bfgs, x, h, y, yn, x0)

if __name__ == "__main__":
    test_n(200, 20, 0.1) 

下面是程序的输出：

fmin
ーーーーーーーーーーー
error of y: 0.00568756699607
error of h: 0.354083287918

fmin_powell
ーーーーーーーーーーー
error of y: 0.000116114709857
error of h: 0.000258897894009

fmin_cg
ーーーーーーーーーーー
error of y: 0.000111220299615
error of h: 0.000211404733439

fmin_bfgs
ーーーーーーーーーーー
error of y: 0.000111220251551
error of h: 0.000211405138529

非线性方程组求解¶

optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程组进行求解。它的基本调用形式如下：

fsolve(func, x0)

func(x)是计算方程组误差的函数，它的参数x是一个矢量，表示方程组的各个未知数的一组可能解，func返回将x代入方程组之后得到的误差；x0为未知数矢量的初始值。如果要对如下方程组进行求解的话：

f1(u1,u2,u3) = 0
f2(u1,u2,u3) = 0
f3(u1,u2,u3) = 0

那么func可以如下定义：

def func(x):
    u1,u2,u3 = x
    return [f1(u1,u2,u3), f2(u1,u2,u3), f3(u1,u2,u3)]

下面是一个实际的例子，求解如下方程组的解：

5*x1 + 3 = 0
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2) = 0
x1*x2 - 1.5 = 0

程序如下：

from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos

def f(x):
    x0 = float(x[0])
    x1 = float(x[1])
    x2 = float(x[2])
    return [
        5*x1+3,
        4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),
        x1*x2 - 1.5
    ]

result = fsolve(f, [1,1,1])

print result
print f(result)

输出为：

[-0.70622057 -0.6        -2.5       ]
[0.0, -9.1260332624187868e-14, 5.3290705182007514e-15]

由于fsolve函数在调用函数f时，传递的参数为数组，因此如果直接使用数组中的元素计算的话，计算速度将会有所降低，因此这里先用float函数将数组中的元素转换为Python中的标准浮点数，然后调用标准math库中的函数进行运算。

在对方程组进行求解时，fsolve会自动计算方程组的雅可比矩阵，如果方程组中的未知数很多，而与每个方程有关的未知数较少时，即雅可比矩阵比较稀疏时，传递一个计算雅可比矩阵的函数将能大幅度提高运算速度。笔者在一个模拟计算的程序中需要大量求解近有50个未知数的非线性方程组的解。每个方程平均与6个未知数相关，通过传递雅可比矩阵的计算函数使计算速度提高了4倍。

雅可比矩阵

雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列的矩阵，它给出了可微分方程与给定点的最优线性逼近，因此类似于多元函数的导数。例如前面的函数f1,f2,f3和未知数u1,u2,u3的雅可比矩阵如下：

$\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f1}{\partial u1} & \dfrac{\partial f1}{\partial u2} & \dfrac{\partial f1}{\partial u3} \\[9pt] \dfrac{\partial f2}{\partial u1} & \dfrac{\partial f2}{\partial u2} & \dfrac{\partial f2}{\partial u3} \\[9pt] \dfrac{\partial f3}{\partial u1} & \dfrac{\partial f3}{\partial u2} & \dfrac{\partial f3}{\partial u3} \\ \end{bmatrix}$

使用雅可比矩阵的fsolve实例如下，计算雅可比矩阵的函数j通过fprime参数传递给fsolve，函数j和函数f一样，有一个未知数的解矢量参数x，函数j计算非线性方程组在矢量x点上的雅可比矩阵。由于这个例子中未知数很少，因此程序计算雅可比矩阵并不能带来计算速度的提升。

# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos
def f(x):
    x0 = float(x[0])
    x1 = float(x[1])
    x2 = float(x[2])
    return [
        5*x1+3,
        4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),
        x1*x2 - 1.5
    ]
    
def j(x):
    x0 = float(x[0])
    x1 = float(x[1])
    x2 = float(x[2])    
    return [
        [0, 5, 0],
        [8*x0, -2*x2*cos(x1*x2), -2*x1*cos(x1*x2)],
        [0, x2, x1]
    ]
 
result = fsolve(f, [1,1,1], fprime=j)
print result
print f(result)

B-Spline样条曲线¶

interpolate库提供了许多对数据进行插值运算的函数。下面是使用直线和B-Spline对正弦波上的点进行插值的例子。

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import pylab as pl
from scipy import interpolate 

x = np.linspace(0, 2*np.pi+np.pi/4, 10)
y = np.sin(x)

x_new = np.linspace(0, 2*np.pi+np.pi/4, 100)
f_linear = interpolate.interp1d(x, y)
tck = interpolate.splrep(x, y)
y_bspline = interpolate.splev(x_new, tck)

pl.plot(x, y, "o",  label=u"原始数据")
pl.plot(x_new, f_linear(x_new), label=u"线性插值")
pl.plot(x_new, y_bspline, label=u"B-spline插值")
pl.legend()
pl.show()

使用interpolate库对正弦波数据进行线性插值和B-Spline插值

在这段程序中，通过interp1d函数直接得到一个新的线性插值函数。而B-Spline插值运算需要先使用splrep函数计算出B-Spline曲线的参数，然后将参数传递给splev函数计算出各个取样点的插值结果。

数值积分¶

数值积分是对定积分的数值求解，例如可以利用数值积分计算某个形状的面积。下面让我们来考虑一下如何计算半径为1的半圆的面积，根据圆的面积公式，其面积应该等于PI/2。单位半圆曲线可以用下面的函数表示：

def half_circle(x):
    return (1-x**2)**0.5

下面的程序使用经典的分小矩形计算面积总和的方式，计算出单位半圆的面积：

>>> N = 10000
>>> x = np.linspace(-1, 1, N)
>>> dx = 2.0/N
>>> y = half_circle(x)
>>> dx * np.sum(y[:-1] + y[1:]) # 面积的两倍
3.1412751679988937

利用上述方式计算出的圆上一系列点的坐标，还可以用numpy.trapz进行数值积分：

>>> import numpy as np
>>> np.trapz(y, x) * 2 # 面积的两倍
3.1415893269316042

此函数计算的是以x,y为顶点坐标的折线与X轴所夹的面积。同样的分割点数，trapz函数的结果更加接近精确值一些。

如果我们调用scipy.integrate库中的quad函数的话，将会得到非常精确的结果：

>>> from scipy import integrate
>>> pi_half, err = integrate.quad(half_circle, -1, 1)
>>> pi_half*2
3.1415926535897984

多重定积分的求值可以通过多次调用quad函数实现，为了调用方便，integrate库提供了dblquad函数进行二重定积分，tplquad函数进行三重定积分。下面以计算单位半球体积为例说明dblquad函数的用法。

单位半球上的点(x,y,z)符合如下方程：

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

因此可以如下定义通过(x,y)坐标计算球面上点的z值的函数：

def half_sphere(x, y):
    return (1-x**2-y**2)**0.5

X-Y轴平面与此球体的交线为一个单位圆，因此积分区间为此单位圆，可以考虑为X轴坐标从-1到1进行积分，而Y轴从 -half_circle(x) 到 half_circle(x) 进行积分，于是可以调用dblquad函数：

>>> integrate.dblquad(half_sphere, -1, 1,
    lambda x:-half_circle(x),
    lambda x:half_circle(x))
>>> (2.0943951023931988, 2.3252456653390915e-14)
>>> np.pi*4/3/2 # 通过球体体积公式计算的半球体积
2.0943951023931953

dblquad函数的调用方式为：

dblquad(func2d, a, b, gfun, hfun)

对于func2d(x,y)函数进行二重积分，其中a,b为变量x的积分区间，而gfun(x)到hfun(x)为变量y的积分区间。

半球体积的积分的示意图如下：

半球体积的双重定积分示意图

X轴的积分区间为-1.0到1.0，对于X=x0时，通过对Y轴的积分计算出切面的面积，因此Y轴的积分区间如图中红色点线所示。

解常微分方程组¶

scipy.integrate库提供了数值积分和常微分方程组求解算法odeint。下面让我们来看看如何用odeint计算洛仑兹吸引子的轨迹。洛仑兹吸引子由下面的三个微分方程定义：

$\frac{dx}{dt} = \sigma (y - x)$

$\frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y$

$\frac{dz}{dt} = xy - \beta z$

洛仑兹吸引子的详细介绍: http://bzhang.lamost.org/website/archives/lorenz_attactor

这三个方程定义了三维空间中各个坐标点上的速度矢量。从某个坐标开始沿着速度矢量进行积分，就可以计算出无质量点在此空间中的运动轨迹。其中 $\sigma$ , $\rho$ , $\beta$ 为三个常数，不同的参数可以计算出不同的运动轨迹： x(t), y(t), z(t)。当参数为某些值时，轨迹出现馄饨现象：即微小的初值差别也会显著地影响运动轨迹。下面是洛仑兹吸引子的轨迹计算和绘制程序：

# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.integrate import odeint 
import numpy as np 

def lorenz(w, t, p, r, b): 
    # 给出位置矢量w，和三个参数p, r, b计算出
    # dx/dt, dy/dt, dz/dt的值
    x, y, z = w
    # 直接与lorenz的计算公式对应 
    return np.array([p*(y-x), x*(r-z)-y, x*y-b*z]) 

t = np.arange(0, 30, 0.01) # 创建时间点 
# 调用ode对lorenz进行求解, 用两个不同的初始值 
track1 = odeint(lorenz, (0.0, 1.00, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0)) 
track2 = odeint(lorenz, (0.0, 1.01, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0)) 

# 绘图
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt 

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot(track1[:,0], track1[:,1], track1[:,2])
ax.plot(track2[:,0], track2[:,1], track2[:,2])
plt.show()

用odeint函数对洛仑兹吸引子微分方程进行数值求解所得到的运动轨迹

我们看到即使初始值只相差0.01，两条运动轨迹也是完全不同的。

在程序中先定义一个lorenz函数，它的任务是计算出某个位置的各个方向的微分值，这个计算直接根据洛仑兹吸引子的公式得出。然后调用odeint，对微分方程求解，odeint有许多参数，这里用到的四个参数分别为：

lorenz，它是计算某个位移上的各个方向的速度(位移的微分)
(0.0, 1.0, 0.0)，位移初始值。计算常微分方程所需的各个变量的初始值
t，表示时间的数组，odeint对于此数组中的每个时间点进行求解，得出所有时间点的位置
args，这些参数直接传递给lorenz函数，因此它们都是常量

滤波器设计¶

scipy.signal库提供了许多信号处理方面的函数。在这一节，让我们来看看如何利用signal库设计滤波器，查看滤波器的频率响应，以及如何使用滤波器对信号进行滤波。

假设如下导入signal库:

>>> import scipy.signal as signal

下面的程序设计一个带通IIR滤波器：

>>> b, a = signal.iirdesign([0.2, 0.5], [0.1, 0.6], 2, 40)

这个滤波器的通带为0.2*f0到0.5*f0，阻带为小于0.1*f0和大于0.6*f0，其中f0为1/2的信号取样频率，如果取样频率为8kHz的话，那么这个带通滤波器的通带为800Hz到2kHz。通带的最大增益衰减为2dB，阻带的最小增益衰减为40dB，即通带的增益浮动在2dB之内，阻带至少有40dB的衰减。

iirdesgin返回的两个数组b和a，它们分别是IIR滤波器的分子和分母部分的系数。其中a[0]恒等于1。

下面通过调用freqz计算所得到的滤波器的频率响应：

>>> w, h = signal.freqz(b, a)

freqz返回两个数组w和h，其中w是圆频率数组，通过w/pi*f0可以计算出其对应的实际频率。h是w中的对应频率点的响应，它是一个复数数组，其幅值为滤波器的增益，相角为滤波器的相位特性。

下面计算h的增益特性，并转换为dB度量。由于h中存在幅值几乎为0的值，因此先用clip函数对其裁剪之后，再调用对数函数，避免计算出错。

>>> power = 20*np.log10(np.clip(np.abs(h), 1e-8, 1e100))

通过下面的语句可以绘制出滤波器的增益特性图，这里假设取样频率为8kHz：

>>> pl.plot(w/np.pi*4000, power)

在实际运用中为了测量未知系统的频率特性，经常将频率扫描波输入到系统中，观察系统的输出，从而计算其频率特性。下面让我们来模拟这一过程。

为了调用chirp函数以产生频率扫描波形的数据，首先需要产生一个等差数组代表取样时间，下面的语句产生2秒钟取样频率为8kHz的取样时间数组：

>>> t = np.arange(0, 2, 1/8000.0)

然后调用chirp得到2秒钟的频率扫描波形的数据：

>>> sweep = signal.chirp(t, f0=0, t1 = 2, f1=4000.0)

频率扫描波的开始频率f0为0Hz，结束频率f1为4kHz，到达4kHz的时间为2秒，使用数组t作为取样时间点。

下面通过调用lfilter函数计算sweep波形经过带通滤波器之后的结果：

>>> out = signal.lfilter(b, a, sweep)

lfilter内部通过如下算式计算IIR滤波器的输出：

通过如下算式可以计算输入为x时的滤波器的输出，其中数组x代表输入信号，y代表输出信号：

$y[n] & = b[0] x[n] + b[1] x[n-1] + \cdots + b[P] x[n-P] \\ & - a[1] y[n-1] - a[2] y[n-2] - \cdots - a[Q] y[n-Q]$

为了和系统的增益特性图进行比较，需要获取输出波形的包络，因此下面先将输出波形数据转换为能量值：

>>> out = 20*np.log10(np.abs(out))

为了计算包络，找到所有能量大于前后两个取样点(局部最大点)的下标：

>>> index = np.where(np.logical_and(out[1:-1] > out[:-2], out[1:-1] > out[2:]))[0] + 1

最后将时间转换为对应的频率，绘制所有局部最大点的能量值：

>>> pl.plot(t[index]/2.0*4000, out[index] )

下图显示freqz计算的频谱和频率扫描波得到的频率特性，我们看到其结果是一致的。

带通IIR滤波器的频率响应和频率扫描波计算的结果比较

计算此图的完整源程序请查看附录中的 带通滤波器设计 。

用Weave嵌入C语言¶

Python作为动态语言其功能虽然强大，但是在数值计算方面有一个最大的缺点：速度不够快。在Python级别的循环和计算的速度只有C语言程序的百分之一。因此才有了NumPy, SciPy这样的函数库，将高度优化的C、Fortran的函数库进行包装，以供Python程序调用。如果这些高度优化的函数库无法实现我们的算法，必须从头开始写循环、计算的话，那么用Python来做显然是不合适的。因此SciPy提供了快速调用C++语言程序的方法-- Weave。下面是对NumPy的数组求和的例子：

# -*- coding: utf-8 -*-
import scipy.weave as weave
import numpy as np
import time

def my_sum(a):
    n=int(len(a))
    code="""
    int i;

    double counter;
    counter =0;
    for(i=0;i<n;i++){
        counter=counter+a(i);
    }
    return_val=counter;
    """

    err=weave.inline(
        code,['a','n'],
        type_converters=weave.converters.blitz,
        compiler="gcc"
    )
    return err

a = np.arange(0, 10000000, 1.0)
# 先调用一次my_sum，weave会自动对C语言进行编译，此后直接运行编译之后的代码
my_sum(a)

start = time.clock()
for i in xrange(100):
    my_sum(a)  # 直接运行编译之后的代码
print "my_sum:", (time.clock() - start) / 100.0

start = time.clock()
for i in xrange(100):
    np.sum( a ) # numpy中的sum，其实现也是C语言级别
print "np.sum:", (time.clock() - start) / 100.0

start = time.clock()
print sum(a) # Python内部函数sum通过数组a的迭代接口访问其每个元素，因此速度很慢
print "sum:", time.clock() - start

此例子在我的电脑上的运行结果为：

my_sum: 0.0294527349146
np.sum: 0.0527649547638
sum: 9.11022322669

可以看到用Weave编译的C语言程序比numpy自带的sum函数还要快。而Python的内部函数sum使用数组的迭代器接口进行运算，因此速度是Python语言级别的，只有Weave版本的1/300。

weave.inline函数的第一个参数为需要执行的C++语言代码，第二个参数是一个列表，它告诉weave要把Python中的两个变量a和n传递给C++程序，注意我们用字符串表示变量名。converters.blitz是一个类型转换器，将numpy的数组类型转换为C++的blitz类。C++程序中的变量a不是一个数组，而是blitz类的实例，因此它使用a(i)获得其各个元素的值，而不是用a[i]。最后我们通过compiler参数告诉weave要采用gcc为C++编译器。如果你安装的是python(x,y)的话，gcc(mingw32)也一起安装好了，否则你可能需要手工安装gcc编译器或者微软的Visual C++。

Note

在我的电脑上，虽然安装了Visual C++ 2008 Express，但仍然提示找不到合适的Visual C++编译器。似乎必须使用编译Python的编译器版本。因此还是用gcc来的方便。

本书的进阶部分还会对weave进行详细介绍。这段程序先给了我们一个定心丸：你再也不必担心Python的计算速度不够快了。

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