Theory "relation"

Signature

Definitions

transitive_def

⊢ ∀R. transitive R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R y z ⇒ R x z

reflexive_def

⊢ ∀R. reflexive R ⇔ ∀x. R x x

irreflexive_def

⊢ ∀R. irreflexive R ⇔ ∀x. ¬R x x

symmetric_def

⊢ ∀R. symmetric R ⇔ ∀x y. R x y ⇔ R y x

antisymmetric_def

⊢ ∀R. antisymmetric R ⇔ ∀x y. R x y ∧ R y x ⇒ x = y

equivalence_def

⊢ ∀R. equivalence R ⇔ reflexive R ∧ symmetric R ∧ transitive R

total_def

⊢ ∀R. total R ⇔ ∀x y. R x y ∨ R y x

trichotomous

⊢ ∀R. trichotomous R ⇔ ∀a b. R a b ∨ R b a ∨ a = b

TC_DEF

⊢ ∀R a b.
      R⁺ a b ⇔
      ∀P. (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒ P a b

RTC_DEF

⊢ ∀R a b. R^* a b ⇔ ∀P. (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒ P a b

RC_DEF

⊢ ∀R x y. RC R x y ⇔ x = y ∨ R x y

SC_DEF

⊢ ∀R x y. SC R x y ⇔ R x y ∨ R y x

EQC_DEF

⊢ ∀R. R^= = RC (SC R)⁺

WF_DEF

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀B. (∃w. B w) ⇒ ∃min. B min ∧ ∀b. R b min ⇒ ¬B b

EMPTY_REL_DEF

⊢ ∀x y. ∅ᵣ x y ⇔ F

inv_image_def

⊢ ∀R f. inv_image R f = (λx y. R (f x) (f y))

RESTRICT_DEF

⊢ ∀f R x. RESTRICT f R x = (λy. if R y x then f y else ARB)

approx_def

⊢ ∀R M x f. approx R M x f ⇔ f = RESTRICT (λy. M (RESTRICT f R y) y) R x

the_fun_def

⊢ ∀R M x. the_fun R M x = @f. approx R M x f

WFREC_DEF

⊢ ∀R M.
      WFREC R M =
      (λx. M (RESTRICT (the_fun R⁺ (λf v. M (RESTRICT f R v) v) x) R x) x)

WFP_DEF

⊢ ∀R a. WFP R a ⇔ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ P a

INDUCTIVE_INVARIANT_DEF

⊢ ∀R P M.
      INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇔ ∀f x. (∀y. R y x ⇒ P y (f y)) ⇒ P x (M f x)

INDUCTIVE_INVARIANT_ON_DEF

⊢ ∀R D P M.
      INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ⇔
      ∀f x. D x ∧ (∀y. D y ⇒ R y x ⇒ P y (f y)) ⇒ P x (M f x)

inv_DEF

⊢ ∀R x y. Rᵀ x y ⇔ R y x

INVOL_DEF

⊢ ∀f. INVOL f ⇔ f ∘ f = I

IDEM_DEF

⊢ ∀f. IDEM f ⇔ f ∘ f = f

O_DEF

⊢ ∀R1 R2 x z. (R1 ∘ᵣ R2) x z ⇔ ∃y. R2 x y ∧ R1 y z

RSUBSET

⊢ ∀R1 R2. R1 ⊆ᵣ R2 ⇔ ∀x y. R1 x y ⇒ R2 x y

RUNION

⊢ ∀R1 R2 x y. (R1 ∪ᵣ R2) x y ⇔ R1 x y ∨ R2 x y

RINTER

⊢ ∀R1 R2 x y. (R1 ∩ᵣ R2) x y ⇔ R1 x y ∧ R2 x y

RCOMPL

⊢ ∀R x y. RCOMPL R x y ⇔ ¬R x y

PreOrder

⊢ ∀R. PreOrder R ⇔ reflexive R ∧ transitive R

Order

⊢ ∀Z. Order Z ⇔ antisymmetric Z ∧ transitive Z

WeakOrder

⊢ ∀Z. WeakOrder Z ⇔ reflexive Z ∧ antisymmetric Z ∧ transitive Z

StrongOrder

⊢ ∀Z. StrongOrder Z ⇔ irreflexive Z ∧ transitive Z

STRORD

⊢ ∀R a b. STRORD R a b ⇔ R a b ∧ a ≠ b

LinearOrder

⊢ ∀R. LinearOrder R ⇔ Order R ∧ trichotomous R

StrongLinearOrder

⊢ ∀R. StrongLinearOrder R ⇔ StrongOrder R ∧ trichotomous R

WeakLinearOrder

⊢ ∀R. WeakLinearOrder R ⇔ WeakOrder R ∧ trichotomous R

diag_def

⊢ ∀A x y. diag A x y ⇔ x = y ∧ x ∈ A

RDOM_DEF

⊢ ∀R x. RDOM R x ⇔ ∃y. R x y

RRANGE

⊢ ∀R y. RRANGE R y ⇔ ∃x. R x y

RUNIV

⊢ ∀x y. 𝕌ᵣ x y ⇔ T

RRESTRICT_DEF

⊢ ∀R s x y. RRESTRICT R s x y ⇔ R x y ∧ x ∈ s

RDOM_DELETE_DEF

⊢ ∀R x u v. (R \\ x) u v ⇔ R u v ∧ u ≠ x

diamond_def

⊢ ∀R. diamond R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. R y u ∧ R z u

rcdiamond_def

⊢ ∀R. rcdiamond R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. RC R y u ∧ RC R z u

CR_def

⊢ ∀R. CR R ⇔ diamond R^*

WCR_def

⊢ ∀R. WCR R ⇔ ∀x y z. R x y ∧ R x z ⇒ ∃u. R^* y u ∧ R^* z u

SN_def

⊢ ∀R. SN R ⇔ WF Rᵀ

nf_def

⊢ ∀R x. nf R x ⇔ ∀y. ¬R x y

Theorems

SC_SYMMETRIC

⊢ ∀R. symmetric (SC R)

TC_TRANSITIVE

⊢ ∀R. transitive R⁺

RTC_INDUCT

⊢ ∀R P. (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒ ∀x y. R^* x y ⇒ P x y

TC_RULES

⊢ ∀R. (∀x y. R x y ⇒ R⁺ x y) ∧ ∀x y z. R⁺ x y ∧ R⁺ y z ⇒ R⁺ x z

RTC_RULES

⊢ ∀R. (∀x. R^* x x) ∧ ∀x y z. R x y ∧ R^* y z ⇒ R^* x z

RTC_REFL

⊢ R^* x x

RTC_SINGLE

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R^* x y

RTC_STRONG_INDUCT

⊢ ∀R P.
      (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. R x y ∧ R^* y z ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R^* x y ⇒ P x y

RTC_RTC

⊢ ∀R x y. R^* x y ⇒ ∀z. R^* y z ⇒ R^* x z

RTC_TRANSITIVE

⊢ ∀R. transitive R^*

transitive_RTC

⊢ ∀R. transitive R^*

RTC_REFLEXIVE

⊢ ∀R. reflexive R^*

reflexive_RTC

⊢ ∀R. reflexive R^*

RC_REFLEXIVE

⊢ ∀R. reflexive (RC R)

reflexive_RC

⊢ ∀R. reflexive (RC R)

RC_lifts_monotonicities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. RC R x y ⇒ RC R (f x) (f y)

RC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ RC R x y ⇒ RC Q x y

RC_lifts_invariants

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ RC R x y ⇒ P y

RC_lifts_equalities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ f x = f y) ⇒ ∀x y. RC R x y ⇒ f x = f y

SC_lifts_monotonicities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. SC R x y ⇒ SC R (f x) (f y)

SC_lifts_equalities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ f x = f y) ⇒ ∀x y. SC R x y ⇒ f x = f y

SC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ SC R x y ⇒ SC Q x y

symmetric_RC

⊢ ∀R. symmetric (RC R) ⇔ symmetric R

antisymmetric_RC

⊢ ∀R. antisymmetric (RC R) ⇔ antisymmetric R

transitive_RC

⊢ ∀R. transitive R ⇒ transitive (RC R)

TC_SUBSET

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R⁺ x y

RTC_SUBSET

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R^* x y

RC_SUBSET

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ RC R x y

RC_RTC

⊢ ∀R x y. RC R x y ⇒ R^* x y

TC_INDUCT

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

TC_INDUCT_LEFT1

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R⁺ x y ⇒ P x y

TC_INDUCT_RIGHT1

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R⁺ x y ⇒ P x y

TC_STRONG_INDUCT

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧
      (∀x y z. P x y ∧ P y z ∧ R⁺ x y ∧ R⁺ y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

TC_STRONG_INDUCT_LEFT1

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. R x y ∧ P y z ∧ R⁺ y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

TC_STRONG_INDUCT_RIGHT1

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R⁺ x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀u v. R⁺ u v ⇒ P u v

TC_INDUCT_ALT_LEFT

⊢ ∀R Q. (∀x. R x b ⇒ Q x) ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ ∀a. R⁺ a b ⇒ Q a

TC_INDUCT_ALT_RIGHT

⊢ ∀R Q. (∀y. R a y ⇒ Q y) ∧ (∀x y. Q x ∧ R x y ⇒ Q y) ⇒ ∀b. R⁺ a b ⇒ Q b

TC_lifts_monotonicities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. R⁺ x y ⇒ R⁺ (f x) (f y)

TC_lifts_invariants

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ R⁺ x y ⇒ P y

TC_lifts_equalities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ f x = f y) ⇒ ∀x y. R⁺ x y ⇒ f x = f y

TC_lifts_transitive_relations

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q (f x) (f y)) ∧ transitive Q ⇒ ∀x y. R⁺ x y ⇒ Q (f x) (f y)

TC_implies_one_step

⊢ ∀x y. R⁺ x y ∧ x ≠ y ⇒ ∃z. R x z ∧ x ≠ z

TC_RTC

⊢ ∀R x y. R⁺ x y ⇒ R^* x y

RTC_TC_RC

⊢ ∀R x y. R^* x y ⇒ RC R x y ∨ R⁺ x y

TC_RC_EQNS

⊢ ∀R. RC R⁺ = R^* ∧ (RC R)⁺ = R^*

RTC_ALT_DEF

⊢ ∀R a b. R^* a b ⇔ ∀Q. Q b ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ Q a

RTC_ALT_INDUCT

⊢ ∀R Q b. Q b ∧ (∀x y. R x y ∧ Q y ⇒ Q x) ⇒ ∀x. R^* x b ⇒ Q x

RTC_ALT_RIGHT_DEF

⊢ ∀R a b. R^* a b ⇔ ∀Q. Q a ∧ (∀y z. Q y ∧ R y z ⇒ Q z) ⇒ Q b

RTC_ALT_RIGHT_INDUCT

⊢ ∀R Q a. Q a ∧ (∀y z. Q y ∧ R y z ⇒ Q z) ⇒ ∀z. R^* a z ⇒ Q z

RTC_INDUCT_RIGHT1

⊢ ∀R P. (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒ ∀x y. R^* x y ⇒ P x y

RTC_RULES_RIGHT1

⊢ ∀R. (∀x. R^* x x) ∧ ∀x y z. R^* x y ∧ R y z ⇒ R^* x z

RTC_STRONG_INDUCT_RIGHT1

⊢ ∀R P.
      (∀x. P x x) ∧ (∀x y z. P x y ∧ R^* x y ∧ R y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R^* x y ⇒ P x y

EXTEND_RTC_TC

⊢ ∀R x y z. R x y ∧ R^* y z ⇒ R⁺ x z

EXTEND_RTC_TC_EQN

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇔ ∃y. R x y ∧ R^* y z

reflexive_RC_identity

⊢ ∀R. reflexive R ⇒ RC R = R

symmetric_SC_identity

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ SC R = R

transitive_TC_identity

⊢ ∀R. transitive R ⇒ R⁺ = R

RC_IDEM

⊢ ∀R. RC (RC R) = RC R

SC_IDEM

⊢ ∀R. SC (SC R) = SC R

TC_IDEM

⊢ ∀R. R⁺ ⁺ = R⁺

RC_MOVES_OUT

⊢ ∀R. SC (RC R) = RC (SC R) ∧ RC (RC R) = RC R ∧ (RC R)⁺ = RC R⁺

symmetric_TC

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ symmetric R⁺

reflexive_TC

⊢ ∀R. reflexive R ⇒ reflexive R⁺

EQC_EQUIVALENCE

⊢ ∀R. equivalence R^=

EQC_IDEM

⊢ ∀R. R^= ^= = R^=

RTC_IDEM

⊢ ∀R. R^* ^* = R^*

RTC_CASES1

⊢ ∀R x y. R^* x y ⇔ x = y ∨ ∃u. R x u ∧ R^* u y

RTC_CASES_TC

⊢ ∀R x y. R^* x y ⇔ x = y ∨ R⁺ x y

RTC_CASES2

⊢ ∀R x y. R^* x y ⇔ x = y ∨ ∃u. R^* x u ∧ R u y

RTC_CASES_RTC_TWICE

⊢ ∀R x y. R^* x y ⇔ ∃u. R^* x u ∧ R^* u y

TC_CASES1_E

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇒ R x z ∨ ∃y. R x y ∧ R⁺ y z

TC_CASES1

⊢ R⁺ x z ⇔ R x z ∨ ∃y. R x y ∧ R⁺ y z

TC_CASES2_E

⊢ ∀R x z. R⁺ x z ⇒ R x z ∨ ∃y. R⁺ x y ∧ R y z

TC_CASES2

⊢ R⁺ x z ⇔ R x z ∨ ∃y. R⁺ x y ∧ R y z

TC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ R⁺ x y ⇒ Q⁺ x y

RTC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q x y) ⇒ R^* x y ⇒ Q^* x y

EQC_INDUCTION

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x. P x x) ∧ (∀x y. P x y ⇒ P y x) ∧
      (∀x y z. P x y ∧ P y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R^= x y ⇒ P x y

EQC_REFL

⊢ ∀R x. R^= x x

EQC_R

⊢ ∀R x y. R x y ⇒ R^= x y

EQC_SYM

⊢ ∀R x y. R^= x y ⇒ R^= y x

EQC_TRANS

⊢ ∀R x y z. R^= x y ∧ R^= y z ⇒ R^= x z

transitive_EQC

⊢ transitive R^=

symmetric_EQC

⊢ symmetric R^=

reflexive_EQC

⊢ reflexive R^=

EQC_MOVES_IN

⊢ ∀R. (RC R)^= = R^= ∧ (SC R)^= = R^= ∧ R⁺ ^= = R^=

STRONG_EQC_INDUCTION

⊢ ∀R P.
      (∀x y. R x y ⇒ P x y) ∧ (∀x. P x x) ∧ (∀x y. R^= x y ∧ P x y ⇒ P y x) ∧
      (∀x y z. P x y ∧ P y z ∧ R^= x y ∧ R^= y z ⇒ P x z) ⇒
      ∀x y. R^= x y ⇒ P x y

ALT_equivalence

⊢ ∀R. equivalence R ⇔ ∀x y. R x y ⇔ R x = R y

EQC_MONOTONE

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R' x y) ⇒ R^= x y ⇒ R'^= x y

RTC_EQC

⊢ ∀x y. R^* x y ⇒ R^= x y

RTC_lifts_monotonicities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ R (f x) (f y)) ⇒ ∀x y. R^* x y ⇒ R^* (f x) (f y)

RTC_lifts_reflexive_transitive_relations

⊢ (∀x y. R x y ⇒ Q (f x) (f y)) ∧ reflexive Q ∧ transitive Q ⇒
  ∀x y. R^* x y ⇒ Q (f x) (f y)

RTC_lifts_equalities

⊢ (∀x y. R x y ⇒ f x = f y) ⇒ ∀x y. R^* x y ⇒ f x = f y

RTC_lifts_invariants

⊢ (∀x y. P x ∧ R x y ⇒ P y) ⇒ ∀x y. P x ∧ R^* x y ⇒ P y

WF_INDUCTION_THM

⊢ ∀R. WF R ⇒ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x

INDUCTION_WF_THM

⊢ ∀R. (∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x) ⇒ WF R

WF_EQ_INDUCTION_THM

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. P x

WF_NOT_REFL

⊢ ∀R x y. WF R ⇒ R x y ⇒ x ≠ y

WF_irreflexive

⊢ WF R ⇒ irreflexive R

WF_EMPTY_REL

⊢ WF ∅ᵣ

WF_SUBSET

⊢ ∀R P. WF R ∧ (∀x y. P x y ⇒ R x y) ⇒ WF P

WF_TC

⊢ ∀R. WF R ⇒ WF R⁺

WF_TC_EQN

⊢ WF R⁺ ⇔ WF R

WF_noloops

⊢ WF R ⇒ R⁺ x y ⇒ x ≠ y

WF_antisymmetric

⊢ WF R ⇒ antisymmetric R

inv_image_thm

⊢ ∀R f x y. inv_image R f x y ⇔ R (f x) (f y)

WF_inv_image

⊢ ∀R f. WF R ⇒ WF (inv_image R f)

total_inv_image

⊢ ∀R f. total R ⇒ total (inv_image R f)

reflexive_inv_image

⊢ ∀R f. reflexive R ⇒ reflexive (inv_image R f)

symmetric_inv_image

⊢ ∀R f. symmetric R ⇒ symmetric (inv_image R f)

transitive_inv_image

⊢ ∀R f. transitive R ⇒ transitive (inv_image R f)

RESTRICT_LEMMA

⊢ ∀f R y z. R y z ⇒ RESTRICT f R z y = f y

WFREC_THM

⊢ ∀R M. WF R ⇒ ∀x. WFREC R M x = M (RESTRICT (WFREC R M) R x) x

WFREC_COROLLARY

⊢ ∀M R f. f = WFREC R M ⇒ WF R ⇒ ∀x. f x = M (RESTRICT f R x) x

WF_RECURSION_THM

⊢ ∀R. WF R ⇒ ∀M. ∃!f. ∀x. f x = M (RESTRICT f R x) x

WFP_RULES

⊢ ∀R x. (∀y. R y x ⇒ WFP R y) ⇒ WFP R x

WFP_INDUCT

⊢ ∀R P. (∀x. (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. WFP R x ⇒ P x

WFP_CASES

⊢ ∀R x. WFP R x ⇔ ∀y. R y x ⇒ WFP R y

WFP_STRONG_INDUCT

⊢ ∀R. (∀x. WFP R x ∧ (∀y. R y x ⇒ P y) ⇒ P x) ⇒ ∀x. WFP R x ⇒ P x

WF_EQ_WFP

⊢ ∀R. WF R ⇔ ∀x. WFP R x

INDUCTIVE_INVARIANT_WFREC

⊢ ∀R P M. WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇒ ∀x. P x (WFREC R M x)

TFL_INDUCTIVE_INVARIANT_WFREC

⊢ ∀f R P M x. f = WFREC R M ∧ WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT R P M ⇒ P x (f x)

INDUCTIVE_INVARIANT_ON_WFREC

⊢ ∀R P M D x. WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ∧ D x ⇒ P x (WFREC R M x)

TFL_INDUCTIVE_INVARIANT_ON_WFREC

⊢ ∀f R D P M x.
      f = WFREC R M ∧ WF R ∧ INDUCTIVE_INVARIANT_ON R D P M ∧ D x ⇒ P x (f x)

inv_inv

⊢ ∀R. Rᵀ ᵀ = R

inv_RC

⊢ ∀R. (RC R)ᵀ = RC Rᵀ

inv_SC

⊢ ∀R. (SC R)ᵀ = SC R ∧ SC Rᵀ = SC R

inv_TC

⊢ ∀R. R⁺ ᵀ = Rᵀ ⁺

inv_EQC

⊢ ∀R. R^= ᵀ = R^= ∧ Rᵀ ^= = R^=

inv_MOVES_OUT

⊢ ∀R.
      Rᵀ ᵀ = R ∧ SC Rᵀ = SC R ∧ RC Rᵀ = (RC R)ᵀ ∧ Rᵀ ⁺ = R⁺ ᵀ ∧
      Rᵀ ^* = R^* ᵀ ∧ Rᵀ ^= = R^=

reflexive_inv

⊢ ∀R. reflexive Rᵀ ⇔ reflexive R

irreflexive_inv

⊢ ∀R. irreflexive Rᵀ ⇔ irreflexive R

symmetric_inv

⊢ ∀R. symmetric Rᵀ ⇔ symmetric R

antisymmetric_inv

⊢ ∀R. antisymmetric Rᵀ ⇔ antisymmetric R

transitive_inv

⊢ ∀R. transitive Rᵀ ⇔ transitive R

symmetric_inv_identity

⊢ ∀R. symmetric R ⇒ Rᵀ = R

equivalence_inv_identity

⊢ ∀R. equivalence R ⇒ Rᵀ = R

INVOL

⊢ ∀f. INVOL f ⇔ ∀x. f (f x) = x

INVOL_ONE_ONE

⊢ ∀f. INVOL f ⇒ ∀a b. f a = f b ⇔ a = b

INVOL_ONE_ENO

⊢ ∀f. INVOL f ⇒ ∀a b. f a = b ⇔ a = f b

NOT_INVOL

⊢ INVOL $~

IDEM

⊢ ∀f. IDEM f ⇔ ∀x. f (f x) = f x

inv_INVOL

⊢ INVOL relinv

inv_O

⊢ ∀R R'. (R ∘ᵣ R')ᵀ = R'ᵀ ∘ᵣ Rᵀ

irreflexive_RSUBSET

⊢ ∀R1 R2. irreflexive R2 ∧ R1 ⊆ᵣ R2 ⇒ irreflexive R1

RUNION_COMM

⊢ R1 ∪ᵣ R2 = R2 ∪ᵣ R1

RUNION_ASSOC

⊢ R1 ∪ᵣ (R2 ∪ᵣ R3) = R1 ∪ᵣ R2 ∪ᵣ R3

RINTER_COMM

⊢ R1 ∩ᵣ R2 = R2 ∩ᵣ R1

RINTER_ASSOC

⊢ R1 ∩ᵣ (R2 ∩ᵣ R3) = R1 ∩ᵣ R2 ∩ᵣ R3

antisymmetric_RINTER

⊢ (antisymmetric R1 ⇒ antisymmetric (R1 ∩ᵣ R2)) ∧
  (antisymmetric R2 ⇒ antisymmetric (R1 ∩ᵣ R2))

transitive_RINTER

⊢ transitive R1 ∧ transitive R2 ⇒ transitive (R1 ∩ᵣ R2)

reflexive_Id_RSUBSET

⊢ ∀R. reflexive R ⇔ $= ⊆ᵣ R

symmetric_inv_RSUBSET

⊢ symmetric R ⇔ Rᵀ ⊆ᵣ R

transitive_O_RSUBSET

⊢ transitive R ⇔ R ∘ᵣ R ⊆ᵣ R

irrefl_trans_implies_antisym

⊢ ∀R. irreflexive R ∧ transitive R ⇒ antisymmetric R

StrongOrd_Ord

⊢ ∀R. StrongOrder R ⇒ Order R

WeakOrd_Ord

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ Order R

WeakOrder_EQ

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ ∀y z. y = z ⇔ R y z ∧ R z y

RSUBSET_ANTISYM

⊢ ∀R1 R2. R1 ⊆ᵣ R2 ∧ R2 ⊆ᵣ R1 ⇒ R1 = R2

RSUBSET_antisymmetric

⊢ antisymmetric $RSUBSET

RSUBSET_WeakOrder

⊢ WeakOrder $RSUBSET

EqIsBothRSUBSET

⊢ ∀y z. y = z ⇔ y ⊆ᵣ z ∧ z ⊆ᵣ y

STRORD_AND_NOT_Id

⊢ STRORD R = R ∩ᵣ RCOMPL $=

RC_OR_Id

⊢ RC R = R ∪ᵣ $=

RC_Weak

⊢ Order R ⇔ WeakOrder (RC R)

STRORD_Strong

⊢ ∀R. Order R ⇔ StrongOrder (STRORD R)

STRORD_RC

⊢ ∀R. StrongOrder R ⇒ STRORD (RC R) = R

RC_STRORD

⊢ ∀R. WeakOrder R ⇒ RC (STRORD R) = R

IDEM_STRORD

⊢ IDEM STRORD

IDEM_RC

⊢ IDEM RC

IDEM_SC

⊢ IDEM SC

IDEM_TC

⊢ IDEM TC

IDEM_RTC

⊢ IDEM RTC

trichotomous_STRORD

⊢ trichotomous (STRORD R) ⇔ trichotomous R

trichotomous_RC

⊢ trichotomous (RC R) ⇔ trichotomous R

WeakLinearOrder_dichotomy

⊢ ∀R. WeakLinearOrder R ⇔ WeakOrder R ∧ ∀a b. R a b ∨ R b a

O_ASSOC

⊢ R1 ∘ᵣ R2 ∘ᵣ R3 = (R1 ∘ᵣ R2) ∘ᵣ R3

Id_O

⊢ $= ∘ᵣ R = R

O_Id

⊢ R ∘ᵣ $= = R

O_MONO

⊢ R1 ⊆ᵣ R2 ∧ S1 ⊆ᵣ S2 ⇒ R1 ∘ᵣ S1 ⊆ᵣ R2 ∘ᵣ S2

inv_Id

⊢ $= ᵀ = $=

inv_diag

⊢ (diag A)ᵀ = diag A

IN_RDOM

⊢ x ∈ RDOM R ⇔ ∃y. R x y

IN_RRANGE

⊢ y ∈ RRANGE R ⇔ ∃x. R x y

IN_RDOM_RUNION

⊢ x ∈ RDOM (R1 ∪ᵣ R2) ⇔ x ∈ RDOM R1 ∨ x ∈ RDOM R2

RUNIV_SUBSET

⊢ (𝕌ᵣ ⊆ᵣ R ⇔ R = 𝕌ᵣ) ∧ R ⊆ᵣ 𝕌ᵣ

REMPTY_SUBSET

⊢ ∅ᵣ ⊆ᵣ R ∧ (R ⊆ᵣ ∅ᵣ ⇔ R = ∅ᵣ)

IN_RDOM_RRESTRICT

⊢ x ∈ RDOM (RRESTRICT R s) ⇔ x ∈ RDOM R ∧ x ∈ s

IN_RDOM_DELETE

⊢ x ∈ RDOM (R \\ k) ⇔ x ∈ RDOM R ∧ x ≠ k

rcdiamond_diamond

⊢ ∀R. rcdiamond R ⇔ diamond (RC R)

diamond_RC_diamond

⊢ ∀R. diamond R ⇒ diamond (RC R)

diamond_TC_diamond

⊢ ∀R. diamond R ⇒ diamond R⁺

establish_CR

⊢ ∀R. (rcdiamond R ⇒ CR R) ∧ (diamond R ⇒ CR R)

Newmans_lemma

⊢ ∀R. WCR R ∧ SN R ⇒ CR R