Theorem brdif 3833

Description: The difference of two binary relations. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
brdif	|- ( A ( R \ S ) B <-> ( A R B /\ -. A S B ) )

Proof of Theorem brdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 2982	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( R \ S ) <-> ( <. A , B >. e. R /\ -. <. A , B >. e. S ) )
2		df-br 3786	. 2 |- ( A ( R \ S ) B <-> <. A , B >. e. ( R \ S ) )
3		df-br 3786	. . 3 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
4		df-br 3786	. . . 4 |- ( A S B <-> <. A , B >. e. S )
5	4	notbii 626	. . 3 |- ( -. A S B <-> -. <. A , B >. e. S )
6	3, 5	anbi12i 447	. 2 |- ( ( A R B /\ -. A S B ) <-> ( <. A , B >. e. R /\ -. <. A , B >. e. S ) )
7	1, 2, 6	3bitr4i 210	1 |- ( A ( R \ S ) B <-> ( A R B /\ -. A S B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   \ cdif 2970   <.cop 3401   class class class wbr 3785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975  df-br 3786

This theorem is referenced by:  fndmdif  5293  brdifun  6156