Theorem csbprc 3289

Description: The proper substitution of a proper class for a set into a class results in the empty set. (Contributed by NM, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbprc	|- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Proof of Theorem csbprc

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 2909	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		sbcex 2823	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. y e. B -> A e. _V )
3	2	con3i 594	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> -. [. A / x ]. y e. B )
4	3	pm2.21d 581	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B -> F. ) )
5		falim 1298	. . . . 5 |- ( F. -> [. A / x ]. y e. B )
6	4, 5	impbid1 140	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> F. ) )
7	6	abbidv 2196	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = { y | F. } )
8		fal 1291	. . . 4 |- -. F.
9	8	abf 3287	. . 3 |- { y | F. } = (/)
10	7, 9	syl6eq 2129	. 2 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = (/) )
11	1, 10	syl5eq 2125	1 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1284   F. wfal 1289   e. wcel 1433   {cab 2067   _Vcvv 2601   [.wsbc 2815   [_csb 2908   (/)c0 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252

This theorem is referenced by: (None)