Theorem csbunig 3609

Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbunig	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbunig

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 2963	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) } )
2		sbcexg 2868	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) ) )
3		sbcang 2857	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) ) )
4		sbcg 2883	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) )
5		sbcel2g 2927	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> y e. [_ A / x ]_ B ) )
6	4, 5	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
7	3, 6	bitrd 186	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
8	7	exbidv 1746	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. y [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
9	2, 8	bitrd 186	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
10	9	abbidv 2196	. . 3 |- ( A e. V -> { z | [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) } )
11	1, 10	eqtrd 2113	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) } )
12		df-uni 3602	. . 3 |- U. B = { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
13	12	csbeq2i 2932	. 2 |- [_ A / x ]_ U. B = [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
14		df-uni 3602	. 2 |- U. [_ A / x ]_ B = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) }
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2138	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   [.wsbc 2815   [_csb 2908   U.cuni 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-uni 3602

This theorem is referenced by: (None)