Theorem invdisj 3780

Description: If there is a function C ( y ) such that C ( y ) = x for all y e. B ( x ), then the sets B ( x ) for distinct x e. A are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
invdisj	|- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem invdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra2xy 2406	. . 3 |- F/ y A. x e. A A. y e. B C = x
2		df-ral 2353	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) )
3		rsp 2411	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> C = x ) )
4		eqcom 2083	. . . . . . . . 9 |- ( C = x <-> x = C )
5	3, 4	syl6ib 159	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> x = C ) )
6	5	imim2i 12	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> x = C ) ) )
7	6	impd 251	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
8	7	alimi 1384	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
9	2, 8	sylbi 119	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
10		mo2icl 2771	. . . 4 |- ( A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
12	1, 11	alrimi 1455	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
13		dfdisj2 3768	. 2 |- (Disj x e. A B <-> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	sylibr 132	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   E*wmo 1942   A.wral 2348  Disj wdisj 3766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rmo 2356  df-v 2603  df-disj 3767

This theorem is referenced by: (None)