Theorem sess2 4093

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sess2	|- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Proof of Theorem sess2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3058	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V ) )
2		rabss2 3077	. . . . 5 |- ( A C_ B -> { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } )
3		ssexg 3917	. . . . . 6 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } /\ { y e. B | y R x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
4	3	ex 113	. . . . 5 |- ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6	5	ralimdv 2430	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
7	1, 6	syld 44	. 2 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8		df-se 4088	. 2 |- ( R Se B <-> A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V )
9		df-se 4088	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	3imtr4g 203	1 |- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1433   A.wral 2348   {crab 2352   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   Se wse 4084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rab 2357  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-se 4088

This theorem is referenced by:  seeq2  4095