Theorem ordelord 4136

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelord	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Proof of Theorem ordelord

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
2	1	anbi2d 451	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)))
3		ordeq 4127	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (Ord 𝑥 ↔ Ord 𝐵))
4	2, 3	imbi12d 232	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)))
5		dford3 4122	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥))
6	5	simprbi 269	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥)
7	6	r19.21bi 2449	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Tr 𝑥)
8		ordelss 4134	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
9		simpl 107	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝐴)
10		trssord 4135	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ Ord 𝐴) → Ord 𝑥)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1169	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Ord 𝑥)
12	4, 11	vtoclg 2658	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵))
13	12	anabsi7 545	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348   ⊆ wss 2973  Tr wtr 3875  Ord word 4117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-uni 3602  df-tr 3876  df-iord 4121

This theorem is referenced by:  tron  4137  ordelon  4138  ordsucg  4246  ordwe  4318  smores  5930